Résoudre au sens distribution l'équation xT=0

[aduonnah]

bonsoir
j'essaie de résoudre au sens des distribution l'équation xT=0

pour x=0 , toute distribution est solution de l'équation
pour x différent de 0 : on a support de T est inclus dans le complémentaire du support de f(x)=x donc
est ce qu'à partir de là on peut conclure que la solution est sous la forme ?
s'il y a d'autres méthodes veuillez s'il vous plaît me proposer une démarche à suivre.

Merci d'avance!

[MacManus]

Bonjour,

On peut montrer que
Il y a un sens plus évident à montrer que l'autre, comme souvent.

Si tu prends une fonction test et en supposant que , alors on peut écrire au sens des distributions que

Ce qui implique que


par contre pour montrer l'autre implication, il existe une méthode un peu plus élaborée.
On peut démontrer que toute fonction test peut s'écrire sous la forme
où , avec

On pose .
puisque et , avec

Si , alors pour toute fonction test , on a au sens des distributions

or
D'où

càd:
Donc

[Robot]

Dans l'argument précédent, il faut prendre une fonction qui est la même pour tous les quand on écrit (alors que , bien entendu, dépend de )

[MacManus]

Oui tout à fait, on pourrait la noter pour qu'il n'y ait pas de confusion

[aduonnah]

merciiii beacoup , ceci m'a été très utile!