Etude d'une fonction

[Prepamaths]

Bonjour, merci d'avance, j'entre en prepa et j'ai un DM à faire, je sèche complètement sur une question, certainement quelque chose qui m'échappe. Si vous pouviez me mettre sur la voie, voilà la question: Indiquer le nombre de solutions de l'équation 256(ln(x)/x)^4-1=0
Puis donner un encadrement d'amplitude 1 de chacunes des solutions. Je ne sais vraiment pas comment procéder, merci.

[Black Jack]

256(ln(x)/x)^4-1=0

Il faut x > 0

[(16(ln(x)/x)²]² - 1²=0

[16(ln(x)/x)² - 1] * [16(ln(x)/x)² + 1] = 0

[16(ln(x)/x)² + 1] est la somme de 2 termes strictement positisf et donc n'est jamais nulle --->

[16(ln(x)/x)² - 1] = 0

[(4(ln(x)/x))² - 1²] = 0

[4(ln(x)/x) - 1] * [4(ln(x)/x) + 1] = 0


Et donc, soit : 4(ln(x)/x) - 1 = 0
ou bien [4(ln(x)/x) + 1] = 0

a) ln(x)/x = 1/4 ---> il y aura 1 ou des solutions issues de cette équation
b) ln(x)/x = -1/4 ---> il y aura 1 ou des solutions issues de cette équation

f(x) = ln(x)/x (pour x > 0)
f'(x) = (1 - ln(x))/x²

f'(x) > 0 sur ]0 ; e[ --> f(x) est croissante.
f'(x) = 0 pour x = e
f'(x) e --> f(x) est décroissante.

lim(x--> 0+) f(x) = -oo
f(x) a un maximum pour x = e, ce max vaut 1/e ( > 1/4)
lim(x-->+oo) f(x) = 0

Et donc (soit en regardant ce qui précède, soit en dressant le tableau de variations de f(x)) :
f(x) = -1/4 pour 1 et une seule valeur de x
f(x) = 1/4 pour exactement 2 valeurs de x

Il y a donc 3 solutions réelles à 256(ln(x)/x)^4-1=0

On peut approcher les valeurs de ces solutions par approximations successives.

Celle qui correspond à ln(x)/x = -0,25 est dans ]0 ; e[
Une des solutions correspondant à ln(x)/x = 0,25 est dans ]0 ; e[ aussi.
Et la 3eme solution (qui correspond aussi à ln(x)/x = 0,25) est > e

...

:zen:

[Prepamaths]

256(ln(x)/x)^4-1=0

Il faut x > 0

[(16(ln(x)/x)²]² - 1²=0

[16(ln(x)/x)² - 1] * [16(ln(x)/x)² + 1] = 0

[16(ln(x)/x)² + 1] est la somme de 2 termes strictement positisf et donc n'est jamais nulle --->

[16(ln(x)/x)² - 1] = 0

[(4(ln(x)/x))² - 1²] = 0

[4(ln(x)/x) - 1] * [4(ln(x)/x) + 1] = 0


Et donc, soit : 4(ln(x)/x) - 1 = 0
ou bien [4(ln(x)/x) + 1] = 0

a) ln(x)/x = 1/4 ---> il y aura 1 ou des solutions issues de cette équation
b) ln(x)/x = -1/4 ---> il y aura 1 ou des solutions issues de cette équation

f(x) = ln(x)/x (pour x > 0)
f'(x) = (1 - ln(x))/x²

f'(x) > 0 sur ]0 ; e[ --> f(x) est croissante.
f'(x) = 0 pour x = e
f'(x) e --> f(x) est décroissante.

lim(x--> 0+) f(x) = -oo
f(x) a un maximum pour x = e, ce max vaut 1/e ( > 1/4)
lim(x-->+oo) f(x) = 0

Et donc (soit en regardant ce qui précède, soit en dressant le tableau de variations de f(x)) :
f(x) = -1/4 pour 1 et une seule valeur de x
f(x) = 1/4 pour exactement 2 valeurs de x

Il y a donc 3 solutions réelles à 256(ln(x)/x)^4-1=0

On peut approcher les valeurs de ces solutions par approximations successives.

Celle qui correspond à ln(x)/x = -0,25 est dans ]0 ; e[
Une des solutions correspondant à ln(x)/x = 0,25 est dans ]0 ; e[ aussi.
Et la 3eme solution (qui correspond aussi à ln(x)/x = 0,25) est > e

...

:zen:

Merci beaucoup, réponse très claire, vous m'avez beaucoup aidé.