Aide svp

[cazanova]

soit x un réel tel que pour tout entier positif n, n^x est entier.
démontrer que x est un entier naturel.

[alphamethyste]

soit x un réel tel que pour tout entier positif n, n^x est entier.
démontrer que x est un entier naturel.

salut se démontre par 1) et 2) ci-dessous

1) pour tout alors n est l'element neutre d'un groupe cyclique G (par la loi . et dont les élément sont des entiers naturels non nuls ) et

groupe engendré par n et tel que avec

par conséquent x est un entier naturel et on vérifie

et étant donné que G est un groupe on vérifie l'élément neutre de G

2) pour n=0 on vérifie avec

[cazanova]

voici une solution:
supposons que $\lambda$ n'est pas un entier naturel, il est claire que $ \lambda >1 $.
soit $ \forall x \in \mathbb{R}^+, f(x)=x^\lambda $, let $f_{0}=f $ and $f_{n+1}=\Delta(f_n)$ avec $\Delta(g)(x)=g(x+1)-g(x)$.
on remarque d'après l'hypothèse que $ \forall n \in \mathbb{N}, \forall k \in \mathbb{N} , f_{n+1}(k) $ est un entier.
on peut montrer par récurrence sur n que:
$\forall n \in \mathbb{N}^* ( P(n) : \forall f \in C^n(\mathbb{R}^+ ), \forall x\in \mathbb{R}^+, \exists \eta \in ]x,x+n[ : f_{n}(x)=f^{(n)}(\eta) . )$
( en utilisant le théorème des accroissements finies et le fait que $\Delta$ et l'opérateur de dérivation commutent.)
pour $k=\lfloor \lambda \rfloor +1$, on a $k-10} $est une suite infinie (car son équivalent est infinie) d'entiers qui converge et sa limite vaut $0$ , contradiction ...