Problème d'arithmétique

[Joka]

Bonjours, je suis en terminale S et je bloque sur un exercice d'arithmétique sur les nombres de catalan

Soit l'équation diophantienne :

2^a + 1 = b^2

Démontrer que cette équation possède une solution unique que l'on explicitera ( le couple de solutions appartenant aux corps des entiers naturels)

la solution apparaît assez intuitivement puisqu'il s'agit du couple (3;3) mais je n'arrive pas à démontrer l'unicité de ce couple (j'ai déjà essayé de le démontrer en partant de a et b solution de cette équation et je suppose a" et b" un autre couple de solution, j'ai essayé de démontrer que b|b" et b"|b mais j'y arrive pas ^^ ) est ce que quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plait ?

Merci de votre attention et bonne soirée.

[Joka]

N.B j'ai oublié de spécifier qu'il s'agit des entiers naturels non nuls, désolé ^^

[L.A.]

Bonsoir,

b^2-1 = (b-1)(b+1) doit être une puissance de 2, donc b+1 et b-1 sont deux puissances de 2 dont la différence est 2, ça ne laisse pas beaucoup de possibilités...

[Joka]

Ah ouais bien vu merci beaucoup