Comparer x et x2 log(x)

[jbeurer]

bonjour,

je reprends les études après de longues années et j ai quelques trous de mémoire en math.
je dois comparer x, x2 log(x) et x log3 (x).


pouvez-vous m'indiquer comment faire ?

[zygomatique]

salut

compare leur quotient à 1 ...

[chombier]

bonjour,

je reprends les études après de longues années et j ai quelques trous de mémoire en math.
je dois comparer x, x2 log(x) et x log3 (x).


pouvez-vous m'indiquer comment faire ?

Je suppose que tu parles de x, x^2 log(x) et x log^3(x).

Il faut les comparer pour quelle valeur de x ? Au voisinage de 0, de +l'infini... ?

[Black Jack]

Comparer x, x².log(x)

On peut aussi étudier les variations de la fonction f(x) = x².log(x) - x (pour x > 0)

f(x) = x.(x.log(x) - 1)
Comme x > 0 (pour que log(x) existe), f(x) a le même signe que g(x) = x.log(x) - 1

On peut donc étudier les variations de g(x) = x.log(x) - 1
Et de là, en déduire le signe de g(x) (qui est aussi celui de f(x) en fonction de x.)
...

:zen:

[jbeurer]

Comparer x, x².log(x)

On peut aussi étudier les variations de la fonction f(x) = x².log(x) - x (pour x > 0)

f(x) = x.(x.log(x) - 1)
Comme x > 0 (pour que log(x) existe), f(x) a le même signe que g(x) = x.log(x) - 1

On peut donc étudier les variations de g(x) = x.log(x) - 1
Et de là, en déduire le signe de g(x) (qui est aussi celui de f(x) en fonction de x.)
...

:zen:

Bonjour c'est la technique qui m'est venu à l'esprit.
J'ai essaye de faire x - x² log x.
J'ai fait faire un graphe sur ma calculatrice
je vois bien que la courbe monte un peu avant de descendre et tends vers moins l'infini.
Mais j'ai énormément de mal à definir quel est ce point ou ça fait f(x)=0 et pourquoi ça tends vers - l'infini.

[jbeurer]

Je suppose que tu parles de x, x^2 log(x) et x log^3(x).

Il faut les comparer pour quelle valeur de x ? Au voisinage de 0, de +l'infini... ?

je dirai avoir une idée de 0 à l'infini.
Mais le + important est vers +l'infini

[jbeurer]

On peut donc étudier les variations de g(x) = x.log(x) - 1
Et de là, en déduire le signe de g(x) (qui est aussi celui de f(x) en fonction de x.)
...

:zen:

On a donc vers l'infini lim x = infini, lim log x = infini donc g(x) tends vers l'infini d'ou x² log(x) plus grand que x. Est ce le bon raisonnement ?

[jbeurer]

Ensuite je fais f(x)= x²log(x) - x log3(x).

gros blocage encore log (x) et log3 (x). Je ne vois pas comment on peut comparer ces deux éléments.

Désolé si mes questions semblent très simples mais je n'ai pas fait de maths depuis des années :we:

Edit:
j'arrive à avancer d'une étape supplémentaire.

f(x)= x (x.log(x)- log3 (x))

Je dois donc trouver le signe de x.log(x)- log3 (x)

[Black Jack]

Je vais en faire 1 détaillé :

Comparer x, x².log(x)

Etudier les variations de la fonction f(x) = x².ln(x) - x (pour x > 0)

f(x) = x.(x.log(x) - 1)
Comme x > 0 (pour que log(x) existe), f(x) a le même signe que g(x) = x.ln(x) - 1

On peut donc étudier les variations de g(x) = x.ln(x) - 1
*****
g(x) = x.ln(x) - 1
Dg : x > 0

g'(x) = ln(x) + 1

g'(x) < 0 pour x compris dans ]0 ; 1/e[ --> g(x) est décroissante.
g'(x) = 0 pour x = 1/e
g'(x) < 0 pour x compris dans ]1/e ; +oo[ --> g(x) est croissante.

g(x) est minimum pour x = 1/e, ce min vaut g(1/e) = -1/e - 1 < 0
lim(x-->0+) g(x) = - 1 < 0
lim(x --> +oo) g(x) = +oo

Des 6 lignes qui précèdent, on peut conclure qu'il y a donc une et seulement une valeur alpha de x telle g(x) = 0
g(2) = 2ln(2) - 1 = 0,38... > 0

g(x) est croissante sur [1/e ; +oo[, g(1/e) < 0 et g(2) > 0 ---> alpha est compris dans ]1/e ; 2[

On peut approcher la valeur de alpha par approximations successives (par exemple par la méthode dichotomique, on peut atteindre la précision qu'on veut ... sauf avoir la valeur exacte.

On trouve alpha compris dans ]1,763 ; 1,764[ (en se limitant à une précision de 1/1000)

On a g(x) et donc aussi f(x) < 0 pour x dans ]0 ; alpha[
et on a g(x) et donc aussi f(x) > 0 pour x dans ]alpha ; +oo[

Donc :

x².ln(x) - x < 0 pour x dans dans ]0 ; alpha[
x².ln(x) - x = 0 pour x = alpha
x².ln(x) - x > 0 pour x dans dans ]alpha ; +oo[

Soit encore :

x².ln(x) < x pour x dans dans ]0 ; alpha[
x².ln(x) = x pour x = alpha
x².ln(x) > x pour x dans dans ]alpha ; +oo[
(Avec alpha compris dans ]]1,763 ; 1,764[
*****
:zen:

[Black Jack]

Ensuite je fais f(x)= x²log(x) - x log3(x).

gros blocage encore log (x) et log3 (x). Je ne vois pas comment on peut comparer ces deux éléments.

Désolé si mes questions semblent très simples mais je n'ai pas fait de maths depuis des années :we:

Edit:
j'arrive à avancer d'une étape supplémentaire.

f(x)= x (x.log(x)- log3 (x))

Je dois donc trouver le signe de x.log(x)- log3 (x)

Celui-ci est un peu plus vicieux.

f(x)= x²ln(x) - x ln3(x)
f(x)= x.ln(x) (x - ln²(x))

Comme x > 0 (pour que ln(x) existe), f(x) a le même signe que g(x) = ln(x).(x - ln²(x))

Le signe de ln(x) est facile à trouver ...
il faut aussi trouver le signe de h(x) = x - ln²(x)

h'(x) = 1 - 2.ln(x)/x
h''(x) = -2.(1-ln(x))/x²
Trouver le signe de h''(x) (qui de signe contraire à 1-ln(x))
On conclut alors que h''(x) 0 pour x > e
Donc h'(x) a un min en x = e
... et on calcule ce minimum qui vaut h'(e) = 1 - 2/e = 0,2... > 0
Et donc h'(x) > 0 sur ]0 ; +oo[ --> h(x) est strictement croissante.

On calcule lim(x--> 0+) h(x) = ... (qui est +oo) h(x) = ... (qui est > 0)

Et de tout cela, on conclut qu'il y a une et une seule valeur alpha de x telle que h(x) = 0

On cherche alpha par approximations successives ...

Et on termine de manière similaire à l'exercice précédent... en pensant à inclure le signe de ln(x) mentionné avant.

:zen:

[jbeurer]

Désolé pour cette réponse très tardive.
J'ai tout compris.

Merci pour ces explications.