Capes blanc matrice

[Baknar]

http://www.noelshack.com/2015-11-1426009329-sujet-capes.png


Jai un capes blanc a faire. J'ai, je pense, reussi les question 1)a et 1)b, mais je ne sais absolument pas comment trouver la matrice U
Et comme tout le reste dépend de ca...

Dans l'enoncé U* est la transposé de U


Vous seriez vraiment très aimable de me donner un coup de main. Merci beaucoup

[Robic]

Bonsoir ! Il me semble que ce problème concerne C et non R, donc U* n'est pas la transposée mais l'adjoint (d'ailleurs c'est la bonne notation).

Pour la question 3, j'ai calculé dét : en écrivant le déterminant, on voit qu'on peut le développer à partir du en haut à gauche et du 1 en bas à droite, ce qui donne où est un déterminant diagonal, donc égal au produit de ses n-1 éléments diagonaux qui sont les , et est aussi un déterminant diagonal dont les n-1 éléments diagonaux sont des 1. Bref, si je ne me trompe pas ça donne :
dét.

(J'ai vérifié rapidement avec n=3 et n=4.)

Dans C, ce polynôme admet n racines : les racines n-èmes de 1, c'est-à-dire les où k varie de 0 à n-1.

Reste ensuite à calculer les sous-espaces propres : s'ils sont chacun de dimension 1, la matrice sera diagonalisable (dans C).

Pour la valeur propre 1, par exemple, c'est très simple : w(u) = u ssi (en utilisant la matrice) , , et ainsi de suite jusque , par conséquent le sous-espace propre est la droite engendrée par (1, 1, ... , 1). (Il était d'ailleurs évident que ce vecteur est vecteur propre puisque, d'après la première question, w échange les vecteurs de base.)

La matrice U sera la matrice de passage, donc la matrice dont les colonnes sont les coordonnées de vecteurs propres.