Endomorphisme - sujet Banque de France blanc

[alexterrrieuur124]

Bonjour à tous/toutes,
Je tente le concours de banque de France à la fin de l'année prochaine et m'entraine sur des sujets. Bien que venant de prépa BL, j'ai perdu quelques notions à science po Aix que j'ai intégré et j'ai besoin d'aide pour un exercice. Le voici :

Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie. On note L(E) l’algèbre des endomorphismes sur E, 0 la fonction constante nulle, IdE l’application identité et pour f ∈ L(E), f(n) = f ◦ f ◦ . . . ◦ f (n facteurs).
Soient λ, μ des réels et f ∈ L(E ) tels que λ ̸= μ et (f − λI dE ) ◦ (f − μI dE ) = 0 .
1. Vérifier que l’on a aussi (f − μIdE) ◦ (f − λIdE) = 0 et montrer par récurrence que (f − λIdE)(n) = (μ − λ)n−1(f − λIdE), pour n ≥ 2.
2. Déduire de ce qui précède l’expression générale de f(n), n ≥ 1. (Indic. : exprimer f grâce à (f − λIdE) et (f − μIdE))
3. On suppose λμ ̸= 0, montrer que f−1 existe et déterminer f−1.

J'ai réussi la 1, très abordable. pour la 2, je n'y arrive pas. J'ai tenté de reprendre l'énoncé, d'isoler f mais j'obtiens f=(-λ μIdE)/(f-(μ + λ) et je suis coincé. je vois que la récurrence peut servir mais je ne vois pas comment l'utiliser.
je ne me suis pas encore penché sur la dernière, ce sera pour plus tard.
Merci d'avance.

[Ben314]

Salut,

. . . mais j'obtiens f=(-λ μIdE)/(f-(μ + λ)

Ça, ça n'a aucun sens : autant, à la rigueur un peut accepter (en fonction du contexte) l'écriture d'un produit d'endomorphismes pour désigner la composée des endomorphismes en question, autant la notion de division est dénuée de sens vu que dans a/b, il n'y a pas moyen de savoir dans quel ordre on a composé a avec la bijection réciproque de b (sans parler du fait qu'avant d'écrire un truc pareil, le minimum ça serait d'avoir montré que l'endomorphisme par lequel tu "divise" est effectivement bijectif).

Bref, à la question 1), tu as montré que et, on a de même .
Or et, comme les endomorphismes et commutent, tu peut utiliser la formule du binôme de Newton pour développer cette somme à la puissance (ou faire une simple réccurence si tu préfère vu que tout les termes sauf deux sont nuls).

[alexterrrieuur124]

Merci beaucoup pour votre réponse,
Je reprends les maths après 2 ans sans les avoir touchées bien que bon en prépa BL... je vous prie de m'excuser pour cette erreur, vous avez amplement raison, ça n'a pas de sens. je n'avais pas pensé à écrire f sous cette forme et cela me permet ensuite de trouver la solution. merci pour votre réponse et je ferai plus attention à ce que j'écris (plus de rigueur surtout). Merci !