Bonjour, je suis actuellement sur le chapitre des équivalences pour les fonctions et j'ai souvent du mal à discerner ce qui est interdit de ce qui ne l'est pas !
Voici l'énoncé de mon TD : http://hpics.li/856e2e8
Dès l'exo 2 je bloque sur certaine limoites, par exemple la question "c" je ne sais pas quoi faire de la tangente, l'autre partie est équivalente à 1 après changement de variable h=x-1/2 mais je bloque là !
Pour la "d" je ne sais tout simplement pas quoi faire !
Dans l'exercice 3 question "a" j'ai eu l'idée de mettre les racine sous forme de puissance mais je ne peux rien en faire donc ce nest pas très utile ...
Merci d'avance pour votre aide
Problème équivalences et limites
10 messages
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par Robic » 01 Mar 2015, 20:33
Bonjour ! Pour le II-c), tu as bien fait de poser h=x-1/2 (correction : dans la suite j'ai fait h = 1/2 - x) pour te ramener à h tend vers 0, donc il reste à calculer la tangente. Deux façons :
1) Tout le monde sait que la tangente, c'est sinus / cosinus :
 = \frac{\sin(\pi x)}{\cos(\pi x)} = \frac{\sin(\frac{\pi}{2}-\pi h)}{\cos(\frac{\pi}{2}-\pi h)})
.
Il suffit alors d'utiliser les relations vues au lycée (et faciles à retrouver en dessinant un cercle trigo) :
 = \cos(\pi h) \;\;\;\; \cos(\frac{\pi}{2}-\pi h) = \sin(\pi h))
.
Ainsi \simeq \frac{1}{\pi h})
.
2) Ou alors on utilises directement la formule :
 = \mbox{cotan}(\pi h) = \frac{\cos(\pi h)}{sin(\pi h)})
, qui revient au même.
Pour le II-d), c'est une forme indéterminée où on se doute que x l'emporte sur le logarithme. Dans ce cas, le bon moyen est de se ramener à une forme indéterminée connue, par exemple}{t})
. Ici, pose y = 1/x (pour x positif), alors x tend vers 0+ est équivalent à y tend vers + l'infini, et si la limite suivante existe :
 \right)^n = \lim_{y \to +\infty}\frac{\left( \ln(y) \right)^n}{y})
.
On y est presque. Pour y être vraiment, il faudrait avoir un truc à la puissance n au dénominateur, donc on peut poser
(je viens de le faire, ça marche).
À première vue le III-a) m'a l'air assez corsé, donc je n'ai pas cherché.
1) Tout le monde sait que la tangente, c'est sinus / cosinus :
Il suffit alors d'utiliser les relations vues au lycée (et faciles à retrouver en dessinant un cercle trigo) :
Ainsi
2) Ou alors on utilises directement la formule :
Pour le II-d), c'est une forme indéterminée où on se doute que x l'emporte sur le logarithme. Dans ce cas, le bon moyen est de se ramener à une forme indéterminée connue, par exemple
On y est presque. Pour y être vraiment, il faudrait avoir un truc à la puissance n au dénominateur, donc on peut poser
À première vue le III-a) m'a l'air assez corsé, donc je n'ai pas cherché.
par eledys » 01 Mar 2015, 21:20
Super pour la c du 2 et la d c'ets bon merci à vous deux :) ! Si quelqu'un trouve pour la 3 je veux bien et sinon je suis sur l'exo 6 là j'ai réussi la "a" mais pour "b" je pensais faire une étude de la fonction f-g pour savoir quels étaient les points qui posais probleme mais en fait sa donne vraiment des calculs atroces j'en déduit qu'il doit y avoir une autre méthode ? J'avais penser à utiliser la question "a" mais sa n'aide pas vraiment à simplifier ... et résoudre l'équation f-g=0 ne me parait pas plus simple ...
par Robic » 01 Mar 2015, 21:51
Pour le VI-b), c'est simple, et grâce au a) justement. Tu dois utiliser deux résultats :
- une somme ou une différence de fonctions continues sur R+ est une fonction continue sur R+ ;
- la composée de deux fonctions continues est continue (avec les ensembles de départ et d'arrivée qui vont bien).
Le 2ème résultat va servir à justifier que |f-g| est continue : c'est la composée de la valeur absolue (fonction continue de R dans R+) avec la fonction f-g (fonction continue de R+ dans R).
Je te laisse assembler tout ça.
- une somme ou une différence de fonctions continues sur R+ est une fonction continue sur R+ ;
- la composée de deux fonctions continues est continue (avec les ensembles de départ et d'arrivée qui vont bien).
Le 2ème résultat va servir à justifier que |f-g| est continue : c'est la composée de la valeur absolue (fonction continue de R dans R+) avec la fonction f-g (fonction continue de R+ dans R).
Je te laisse assembler tout ça.
par eledys » 01 Mar 2015, 21:59
mais oui je suis trop bête ^^ je me suis focaliser sur trouver les points où on passer de f(x) à g(x) mais en fait on avait une expression toute faite ^^ Merci beaucoup :) !
par chan79 » 01 Mar 2015, 22:41
Robic a écrit:Bonjour ! Pour le II-c), tu as bien fait de poser h=x-1/2 pour te ramener à h tend vers 0, donc il reste à calculer la tangente. Deux façons :
1) Tout le monde sait que la tangente, c'est sinus / cosinus :
Petit souci de signe, je pense
par eledys » 02 Mar 2015, 17:16
Pas de soucis j'avais vu l'erreur de signe et l'avais prise en compte ;)
A présent j'ai tout réussi sauf les deux derniers exos l'un de vous à une piste ? parce qu pour l'un comme pour l'autre je suis vraiment dans le fou ^^
A présent j'ai tout réussi sauf les deux derniers exos l'un de vous à une piste ? parce qu pour l'un comme pour l'autre je suis vraiment dans le fou ^^
par Robic » 02 Mar 2015, 20:23
J'ai regardé le VIII, j'adore ce genre de question !
Voici ce que je me suis dit (y as-tu pensé ?) :
- c'est le genre de question où l'on va commencer par « Supposons que f n'est pas constante » ;
- la continuité en 0 doit forcément servir (puisqu'on en parle !) ;
- en y réfléchissant un peu, c'est normal que f soit constante (de là à le démontrer, non, mais si on trouve ça normal, c'est déjà ça).
Assez vite m'est venue l'idée qui marche. Voici quelques indications :
« Supposons que f n'est pas constante », ça veut dire qu'on peut trouver x et y différents tels que f(x) et f(y) différents. Mais comme la continuité en 0 doit servir à quelque chose, je propose de choisir 0 pour l'un des deux. Voici comment je commence :
« Supposons que f n'est pas constante. Donc il existe a non nul tel que f(a) est différent de f(0). »
L'idée, maintenant, c'est de diviser par 2 systématiquement afin de tendre vers 0 (il faut tendre vers 0 pour exploiter l'hypothèse de continuité, et soit multiplier par 2 soit diviser par 2 - donc diviser par 2 - pour exploiter f(x)=f(2x)). D'où :
« Soit (Un) la suite des a/2^n. »
Étudie la limite de la suite, tu verras qu'elle contredit l'hypothèse de continuité en 0. Indication : calculer f(Un).
Voici ce que je me suis dit (y as-tu pensé ?) :
- c'est le genre de question où l'on va commencer par « Supposons que f n'est pas constante » ;
- la continuité en 0 doit forcément servir (puisqu'on en parle !) ;
- en y réfléchissant un peu, c'est normal que f soit constante (de là à le démontrer, non, mais si on trouve ça normal, c'est déjà ça).
Assez vite m'est venue l'idée qui marche. Voici quelques indications :
« Supposons que f n'est pas constante », ça veut dire qu'on peut trouver x et y différents tels que f(x) et f(y) différents. Mais comme la continuité en 0 doit servir à quelque chose, je propose de choisir 0 pour l'un des deux. Voici comment je commence :
« Supposons que f n'est pas constante. Donc il existe a non nul tel que f(a) est différent de f(0). »
L'idée, maintenant, c'est de diviser par 2 systématiquement afin de tendre vers 0 (il faut tendre vers 0 pour exploiter l'hypothèse de continuité, et soit multiplier par 2 soit diviser par 2 - donc diviser par 2 - pour exploiter f(x)=f(2x)). D'où :
« Soit (Un) la suite des a/2^n. »
Étudie la limite de la suite, tu verras qu'elle contredit l'hypothèse de continuité en 0. Indication : calculer f(Un).
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