Je dois démontrer que
Merci
Trajectoires orthogonales (dérivée implicite)
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Trajectoires orthogonales (dérivée implicite)
par GuillaumeDrolet » 27 Fév 2015, 23:13
Bonsoir
Je dois démontrer que
et 
sont orthogonales en utilisant la dérivation implicite et je ne vois pas comment.
Merci
Je dois démontrer que
Merci
par zygomatique » 28 Fév 2015, 00:54
salut
donc 
donc 
or les points d'intersection de ces courbes ont pour coordonnées)
car ax = by
donc
et
damned le produit uv devrait faire -1 ....
un vecteur normal est)
un vecteur normal est)
leur produit scalaire est + 2y(2y - b) = 4x^2 + 4y^2 - 2ax - 2by = 0)
donc ces courbes sont orthogonales
....
or les points d'intersection de ces courbes ont pour coordonnées
donc
et
damned le produit uv devrait faire -1 ....
un vecteur normal est
un vecteur normal est
leur produit scalaire est
donc ces courbes sont orthogonales
....
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
par GuillaumeDrolet » 28 Fév 2015, 04:30
OK je comprend la dérivée implicite au début (quoi que est-ce que vous pourriez expliquer en quoi elle aide a déterminer si les courbes sont orthogonales?...)
Mais à partir du moment où vous parlez du produit de u et v je suis perdu. Je ne comprend pas vraiment le but de faire un produit scalaire ni d'où tous ces chiffres sortent [ et ] et pourquoi 
prouve qu'ils sont orthogonales.
Mais à partir du moment où vous parlez du produit de u et v je suis perdu. Je ne comprend pas vraiment le but de faire un produit scalaire ni d'où tous ces chiffres sortent [
par chan79 » 28 Fév 2015, 09:52
Salut
C'est plus long mais c'est une méthode pour obtenir les équations des courbes orthogonales.
On part de
on dérive
on multiplie par
On remplace
par 
pour obtenir l'équation différentielle à résoudre
soit
elle est homogène
On divise par
et on pose 
(on a donc 
)
=z^2)
)
=-ln(x)+k)
on pose)
=ln(\fra{b}{x}))
C'est plus long mais c'est une méthode pour obtenir les équations des courbes orthogonales.
On part de
on dérive
on multiplie par
On remplace
soit
elle est homogène
On divise par
on pose
par zygomatique » 28 Fév 2015, 10:13
prenons alors simplement une droite d'équation ax + by + c = 0
alors un vecteur normal est (a, b) que l'on obtient en différentiant implicitement ....
or ::
deux courbes sont orthogonales en un point <=> les tangentes sont perpendiculaires <=> leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux <=> leurs vecteurs normaux sont orthogonaux
....
alors un vecteur normal est (a, b) que l'on obtient en différentiant implicitement ....
or ::
deux courbes sont orthogonales en un point <=> les tangentes sont perpendiculaires <=> leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux <=> leurs vecteurs normaux sont orthogonaux
....
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
par chan79 » 28 Fév 2015, 11:37
salut
C'est un peu lourd comme calcul mais on peut obtenir les équations des courbes orthogonales:
on part de
on dérive
on multiplie par et on remplace par et 
par 
on obtient l'équation différentielle:
Comme cette équation est homogène, on pose
dz}{z+z^3}=\fra{dx}{x})
donc
=ln(kx))
on remplace
par 
on obtient
en posant
il y a sans doute plus simple
cette méthode marche avec beaucoup de familles de courbes
Tout cercle rouge se coupe "à angles droits" avec tout cercle bleu.
cercles rouges:x²+y²=ax
cercles bleus:x²+y²=by
C'est un peu lourd comme calcul mais on peut obtenir les équations des courbes orthogonales:
on part de
on dérive
on multiplie par
on obtient l'équation différentielle:
Comme cette équation est homogène, on pose
donc
on remplace
on obtient
en posant
il y a sans doute plus simple
cette méthode marche avec beaucoup de familles de courbes
Tout cercle rouge se coupe "à angles droits" avec tout cercle bleu.
cercles rouges:x²+y²=ax
cercles bleus:x²+y²=by
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