Au voisinage de la limite

[MlleAmandineD]

Bonjour à tous, j'ai ce DM à faire pour vendredi, je sais que je m'y prend au dernier moment mais j'ai étais malade pendant 5 jours donc je n'ai pas pris le temps de faire mes devoirs. J'ai déjà raté beaucoup de cours sur les suites. Je n'ai donc aucune idée pour cet exercice. Je suis totalement perdu. Si je pouvais avoir un peu d'aide ça serait génial. Merci beaucoup.
Bonne fin de journée à tous.


Dans de nombreuses situations, on est amenés à conjecturer que les termes d'une suite sont de plus en plus près d'un nombre fixé (que l'on appellera limite de la suite).
L'algorithme ci-dessous a pour objectif de déterminer à partir de quel indice n les termes d'une suite monotone de limite L sont dans l'intervalle ]L - r ; L + r[, où r est un nombre strictement positif choisi par l'utilisateur.

La suite (un) est définie pour tout entier naturel n, par u0 = 1 et un+1 = (2un/3) + 1

On admet que cette suite est croissante et tend vers L = 3 quand n tend vers +;) (vous pouvez le vérifier graphiquement).
L'algorithme ci-dessous a été écrit avec AlgoBox.

1 VARIABLES
2 n EST_DU_TYPE NOMBRE
3 r EST_DU_TYPE NOMBRE
4 u EST_DU_TYPE NOMBRE
5 L EST_DU_TYPE NOMBRE
6 DEBUT_ALGORITHME
7 u PREND_LA_VALEUR 1
8 n PREND_LA_VALEUR 0
9 LIRE L
10 LIRE r
11 TANT_QUE (u<=L-r ou u>=L+r) FAIRE
12 DEBUT_TANT_QUE
13 u PREND_LA_VALEUR F1(u)
14 n PREND_LA_VALEUR n+1
15 FIN_TANT_QUE
16 AFFICHER "Le terme u"
17 AFFICHER n
18 AFFICHER " appartient à ]L-r;L+r[."
19 FIN_ALGORITHME
20
21 Fonction numérique utilisée :
22 F1(x) = (2/3)*x+1


a) À quelle ligne précise-t-on la valeur du premier terme u0 ?
b) Quel est le rôle de la fonction qui apparaît à la ligne 22 ?
c) Les lignes 11 à 15 correspondent à une boucle conditionnelle. Quel est le test qui conditionne le fonctionnement de cette boucle ?
d) A quelles actions correspondent les lignes 13 et 14 ?
e) Utilisez cet algorithme avec AlgoBox ou programmez-le sur votre calculatrice afin de préciser à partir de quel indice n, un appartient à l'intervalle :
- ]2.99 ; 3.01[
- ]2.9998 ; 3.0002[
- ]3-10^-6 ; 3+10^-6[
f) Comment modifier cet algorithme pour faire une étude équivalente avec la suite définie, pour tout entier naturel n, par :
u0 = 6
un+1 = (un/2)+2
On admet que cette suite est décroissante et tend vers 4 quand n tend vers +;) (vous pouvez le vérifier graphiquement).

[messinmaisoui]

Mes indications sur le sujet ...

7 u PREND_LA_VALEUR 1
8 n PREND_LA_VALEUR 0
...
11 TANT_QUE ...
[INDENT]...
13 u PREND_LA_VALEUR F1(u)
14 n PREND_LA_VALEUR n+1 [/INDENT]
15 FIN_TANT_QUE
...

Si on ne considère pour l'instant que les lignes 7, 8 : initialisation
et 13, 14 : La boucle

Que voit-on :

7u PREND_LA_VALEUR 1
8 n PREND_LA_VALEUR 0

u = 1
n = 0

1er boucle

13 u PREND_LA_VALEUR F1(u)
14 n PREND_LA_VALEUR n+1

u = F1(1) = (2/3)*1+1 = 5/3
n = 0+1 = 1


2eme boucle

13 u PREND_LA_VALEUR F1(u)
14 n PREND_LA_VALEUR n+1

u = F1(5/3) = (2/3)*(5/3)+1 = 19/9
n = 1+1 = 2

etc ...

Ainsi à priori dans cet algorithme U va prendre les valeurs successives de U0 puis U1 puis U2 etc ...