Divisibilité et congruence

[yaboo]

Bonjour,
Je suis bloqué sur un exercice où l'on doit démontrer que est divisible par 13.

Je pars du principe que
Donc

Et donc en fonction des valeurs de n je pourrais étudier la congruence de modulo 13.

Ce qui me pose problème c'est le et plus particulièrement le -1, comment m'en débarasser ?

[Ben314]

Salut,
Déjà, je pense que ça serait plus simple d'écrire que et de calculer une bonne fois pour toute combien vaut modulo 13.

Ensuite, effectivement, le -1 de 4n-1 peut donner l'impression de poser problème.
A ton niveau, je vois (au moins) deux solutions :

1) Soit tu "pose" m=n-1 de façon à ce que 4n-1=4m+3 et cette fois 3 est positif (bien sûr il faut faire la même chose avec l'autre exposant en écrivant que 4n+1=4m+5. Et ne pas oublier non plus que, vu que l'énoncé était (sans doute...) "Montrer que pour tout n>=1 on a..." il faut remplacer par "Montrer que pour tout m>=0 on a..."

2) Soit tu dit que, vu que 18 est premier avec 13, le nombre est divisible par 13 si et seulement si est divisible par 13 et, comme , ça te "vire" le -1 qui t'emmerdais.

P.S. Concernant la première méthode, tu n'est même pas obligé de "poser" quoi que ce soit : tu paut tout aussi bien écrire directement que ce qui revien exactement au même et évite d'introduire une "lettre" en plus.

[Ben314]

Salut,
Déjà, je pense que ça serait plus simple d'écrire que et de calculer une bonne fois pour toute combien vaut modulo 13.

Ensuite, effectivement, le -1 de 4n-1 peut donner l'impression de poser problème.
A ton niveau, je vois (au moins) deux solutions :

1) Soit tu "pose" m=n-1 de façon à ce que 4n-1=4m+3 et cette fois 3 est positif (bien sûr il faut faire la même chose avec l'autre exposant en écrivant que 4n+1=4m+5. Et ne pas oublier non plus que, vu que l'énoncé était (sans doute...) "Montrer que pour tout n>=1 on a..." il faut remplacer par "Montrer que pour tout m>=0 on a..."

2) Soit tu dit que, vu que 18 est premier avec 13, le nombre est divisible par 13 si et seulement si est divisible par 13 et, comme , ça te "vire" le -1 qui t'emmerdais.

P.S. Concernant la première méthode, tu n'est même pas obligé de "poser" quoi que ce soit : tu paut tout aussi bien écrire directement que ce qui revient exactement au même et évite d'introduire une "lettre" en plus.

[nodjim]

Il y a une solution très directe:
31^(4n+1)=5^(4n+1)=5²*^5^(4n-1)=-5^(4n-1) modulo 13.
Et comme 18^(4n-1)=5^(4n-1), en additionnant, ça fait 0 modulo 13.