Intégration 0 à +l'infini

[simily445]

Bonjour,

Je souhaite intégrer une fonction qui ne prend pas de forme analytique, entre 0 et +infini.
Voilà mon intégrale:

(t*exp(-x*t)^a * (1-exp(-x*t))^(b-1) * exp((-0.5/sigma2) * [log(y/x)-mu]²))/y

Bon la formule est un peu imbuvable mais je voudrais l'intégrer sur y entre 0 et +infini pour obtenir une valeur numérique.
J'ai pensé à la méthode de Simpson mais comment définir ma borne supérieure?

Quelqu'un connait-il une autre méthode pour faire cette intégration?

Merci

[DamX]

Bonjour,
avant toute chose, et juste pour espérer avoir une réponse, tu parles de ça ?


nan parce que si c'est ça et que tu intègres sur y comme tu le dis, tu as la moitié de l'expression qui sort de l'intégrale..

Par ailleurs, quelles sont les valeurs prises par a,b,x,t,sigma,mu ?

Damien

[simily445]

Oui c'est bien ça!
Qu'est ce qui sort de l'intégrale exactement (désolée je ne suis pas une matheuse de base et ces histoires d'intégrales remontent à bien loin pour moi)

a,b,t,sigma² et mu sont des valeurs fixes connues. En gros:
a = 2.15
b = 1.62
t = 2
mu = -0.188
sigma² = 0.555

[arnaud32]

pose u=ln(y/x) et fait le changement de variable
apres tu as la suite ici
http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_normale

[DamX]

OK, bon et bien ça va se goupiller pas trop mal tout ça.

Déjà, tous les facteurs qui ne dépendent pas de y on peut les "sortir" de l'intégrale, c'est à dire :



Donc on ne s'intéresse à présent qu'à cette nouvelle intégrale, et on va faire le changement de variable z = ln(y) (donc et

Ce qui donne:


Attention, la borne inférieure de l'intégrale est devenu -infini.
Ainsi on retombe sur une intégrale de gauss (http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%A9grale_de_Gauss), donc on connaît la valeur exacte :
.

Ainsi en résumé on a simplement

Pour savoir, d'où provient cette intégrale, de quel problème ? Est-ce cohérent que le mu disparaisse du résultat ?

Damien

[simily445]

Voilà l'origine du problème:
Je pars d'une formule:
Sc = exp(-x*t)

Cette formule est une probabilité de survie dans un groupe contrôle et est donc comprise entre 0 et 1.
Je fais donc l'hypothèse que Sc suit une loi Béta.
Ce qui m'intéresse c'est la loi de x que je ne connais pas.
En faisant un changement de variable, je trouve que la densité de x est:

L(x) = t*(exp(-xt))^a*(1-exp(-xt))^(b-1)

Ensuite ce qui m'intéresse est d'obtenir a loi conjointe de la survie dans le groupe contrôle et expérimental (Sc,Se).
Je n'ai que très peu d'information sur le groupe expérimental, mais je sais que:

HR = log[Sc]/log[Se]

sachant que Se = exp(-y*t)

si je prends le log de HR je peux supposer que cela suit une loi normal.

J'ai donc Log(HR) = Log[y/x] ~Normal(µ,sigma)
Sa densité est donc:
L(HR) = (1/sqrt(2*pi*sigma²))*exp(-(1/(2*sigma²))*(log(y/x)-µ)²)

En supposant que x et log(HR) sont indépendant je peux multiplier leur loi pour avoir la loi conjointe de (x,HR).

A partir de cette loi et en utilisant une matrice jacobienne je peux faire un changement de variable et obtenir la loi de (x,y).

En intégrant L(x,y) sur y je devrai retrouver la loi de x
En intégrant L(x,y) sur x je devrai retrouver la loi de y

Voilà le cheminement... Tout ça pour faire du Bayésien ensuite