Serie de fonctions

[Madi47]

Bonjour,

J ai juste une petite question concernant la derivee d une serie de fonctions

On pose f(x)= somme n=2 a L inifini de 1/n a la puissance x.


1.Donner le domaine de definition de f

j ai repondu ]1, plus l inf[

2. etudier la continuite et la derivabilite de f

fn est de classe C1 sur R mais mon probleme se situe ici je ne sais pas comment calculer la derivee (je precise que je ne suis pas en prepa pour ceux qui auraient une attaque en lisant ceci).

Ce qui me gene ici c est le n a la puissance x ici on derive en fonction de x et non de n. Quelqu un pourrait il m aider.

PS desolee pour l absence d accent, j ecris depuis un clavier americain.

[Ben314]

Salut,
Si je comprend bien, où

Pour commencer, il y a effectivement C.V. de la série pour tout x>1 et même convergence uniforme sur tout intervalle [a,+oo[ où a>1, ce qui te garanti que f est continue sur [a,+oo[ et comme on peut prendre a aussi proche de 1 que l'on veut, f est effectivement continue sur ]1,+oo[

Ensuite, la dérivée de , elle n'est pas trop compliquée à obtenir en écrivant la puissance "sous forme exponentielle" :


Enfin, effectivement, on ne peut pas dériver ce genre de fonction sans précautions, mais tu as du voir que, s'il y a convergence uniforme d'une série de fonctions sur un intervalle [a,b], on peut intégrer la série et l'intégrale vaut la somme des intégrales.
Comme intégrer, ça revient à calculer des primitive (l'intégrale de a à x d'une fonction f, c'est une primitive de f), ça veut dire en fait qu'on peut "primitiver" des séries (s'il y a convergence uniforme).

BILAN : Ce qu'on fait en général, c'est de dériver chaque terme de la série puis de regarder si la série des dérivées converge uniformément sur ??? (à voir...). Si c'est le cas on en déduira (via le laïus ci dessus) que le somme des dérivées est bien égale à le dérivée de la somme.

P.S. Aussi bien, tout ce que je raconte là, tu l'a déjà vu en cours...

[Madi47]

Salut,
Si je comprend bien, où

Pour commencer, il y a effectivement C.V. de la série pour tout x>1 et même convergence uniforme sur tout intervalle [a,+oo[ où a>1, ce qui te garanti que f est continue sur [a,+oo[ et comme on peut prendre a aussi proche de 1 que l'on veut, f est effectivement continue sur ]1,+oo[

Ensuite, la dérivée de , elle n'est pas trop compliquée à obtenir en écrivant la puissance "sous forme exponentielle" :


Enfin, effectivement, on ne peut pas dériver ce genre de fonction sans précautions, mais tu as du voir que, s'il y a convergence uniforme d'une série de fonctions sur un intervalle [a,b], on peut intégrer la série et l'intégrale vaut la somme des intégrales.
Comme intégrer, ça revient à calculer des primitive (l'intégrale de a à x d'une fonction f, c'est une primitive de f), ça veut dire en fait qu'on peut "primitiver" des séries (s'il y a convergence uniforme).

BILAN : Ce qu'on fait en général, c'est de dériver chaque terme de la série puis de regarder si la série des dérivées converge uniformément sur ??? (à voir...). Si c'est le cas on en déduira (via le laïus ci dessus) que le somme des dérivées est bien égale à le dérivée de la somme.

P.S. Aussi bien, tout ce que je raconte là, tu l'a déjà vu en cours...

Merci Ben pour cette reponse je vois tres bien ce que tu veux dire avec la convergence uniforme.



Merci Ben pour ton aide.
La derivee serait donc egale a -ln(n)/n puissance x ???/

[Madi47]

Merci Ben pour cette reponse je vois tres bien ce que tu veux dire avec la convergence uniforme.



Merci Ben pour ton aide.
La derivee serait donc egale a -ln(n)/n puissance x ???/

J en profite pour poser une autre question


j ai la fonction (-1)puissance n ln( 1+X/N(1+X)) je dosi etudier la convergence de la serie

c est une serie alternee qui converge puisque elle tend vers 0 en decroissant

donc j etudie le reste Rn

Rn inf ou egale a x/(n+1)(x+1) ainsi sup Rn est inferieur ou egal a sup x/(n+1)(x+1)=1/(n+1)supx/1+x

mais je ne sais pas quoi faire de cette expression avec le sup et comment le trouver.

Peux tu m aider ben sur cette question

[Ben314]

La dérivée serait donc égale a ???/

Oui, c'est bien ça.


Concernant le sup de la fonction , la valeur qu'il aura va (évidement) dépendre de l'ensemble sur lequel on calcule le sup, mais, quel que soit cet ensemble, en étudiant les variations de la fonction f sur l'ensemble en question, tu devrait facilement le trouver.

[Madi47]

Oui, c'est bien ça.


Concernant le sup de la fonction , la valeur qu'il aura va (évidement) dépendre de l'ensemble sur lequel on calcule le sup, mais, quel que soit cet ensemble, en étudiant les variations de la fonction f sur l'ensemble en question, tu devrait facilement le trouver.

la fonction alternee est definie de R+ dans R quand je calcule les variations de x/1+X

je trouve une derivee egale a 1/x^2+2X+1

ET la je suis un perdue, dois je etudier le discriminant apres cela pour savoir quand ma derivee s annule ou y a til un moyen plus rapide de determiner le sup?

Merci encore de ton aide Ben. Desolee pour les questions plus que basiques mais j ai beaucoup de lacunes sur les bases. Je suis passee par la prepa long time ago. Il y a des trucs que j ai oublie mais j essaye de me remettre a niveau.