Application linéaire

[chanice 0404]

bonjour, j'ai du mal à finir mon exercice de math
quelqu'un pourrait-il me donner quelques indications?

voilà l'énoncé

soit A la matrice:,


1 2
0 0 .pour M appartenant à M2(R) on pose f(M)=A.M

1) montrez que f est un endomorphisme de M2(R)

2) déterminez ker(f) ainsi qu'une base de cet espace vectoriel..

soit B la matrice

1 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1


déterminez la matrice A de f dans B ( en fait B c'est quatre matrice 2-2, je ne sais pas comment utiliser latex, d'où mon écriture, )

4 ) trouvez Im(f). quel est le rang de f?



MES REPONSES:



1) je trouve que f est une application linéaire, donc f est un endomorphisme

2) je trouve ker(f)= vect (-2,1), (0,0). je ne sais pas comment trouver la base d'un noyau, c'est là que je bloque.

et pour la question trois je ne sais pas quoi faire


4) pour l'image je trouve Im(f) = vect (1,0), (0,2)

je bloque aussi pour la suite de cette question.

[Manny06]

bonjour, j'ai du mal à finir mon exercice de math
quelqu'un pourrait-il me donner quelques indications?

voilà l'énoncé

soit A la matrice:,


1 2
0 0 .pour M appartenant à M2(R) on pose f(M)=A.M

1) montrez que f est un endomorphisme de M2(R)

2) déterminez ker(f) ainsi qu'une base de cet espace vectoriel..

soit B la matrice

1 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1


déterminez la matrice A de f dans B ( en fait B c'est quatre matrice 2-2, je ne sais pas comment utiliser latex, d'où mon écriture, )

4 ) trouvez Im(f). quel est le rang de f?



MES REPONSES:



1) je trouve que f est une application linéaire, donc f est un endomorphisme

2) je trouve ker(f)= vect (-2,1), (0,0). je ne sais pas comment trouver la base d'un noyau, c'est là que je bloque.

et pour la question trois je ne sais pas quoi faire


4) pour l'image je trouve Im(f) = vect (1,0), (0,2)

je bloque aussi pour la suite de cette question.

Pour une base du noyau je trouverais plutôt 2 matrices
A=1°ligne -2 0
2°ligne 1 0
et B 1°ligne 0 -2
2°ligne 0 1

[chanice 0404]

donc la base du noyau(ou image ) d'une matrice c'est une matrice?

mais je ne comprends pas comment vous avez trouvé le résultat.
et pourquoi deux matrices?

[Manny06]

donc la base du noyau(ou image ) d'une matrice c'est une matrice?

mais je ne comprends pas comment vous avez trouvé le résultat.
et pourquoi deux matrices?

Tu prends une matrice M quelconque de M2(R)
soit x y Rq x,y,z,t sont les coordonnées de la matrice M dans la base B
z t
puis tu cherches la matrice image
x' y'
z' t'
tu dois trouver x'=x+2z
y'=y+2t
z'=0
t'=0
ce qui te donne la dimension 2 pour le noyau

[chanice 0404]

Tu prends une matrice M quelconque de M2(R)
soit x y Rq x,y,z,t sont les coordonnées de la matrice M dans la base B
z t
puis tu cherches la matrice image
x' y'
z' t'
tu dois trouver x'=x+2z
y'=y+2t
z'=0
t'=0
ce qui te donne la dimension 2 pour le noyau

donc si j'ai bien compris (x, y, z, t) est une base du noyau? désolé mais moi je bloque encore sur la question de la base du noyau, je n'arrive pas à comprendre ce que l'on me demande réellement.

[Manny06]

donc si j'ai bien compris (x, y, z, t) est une base du noyau? désolé mais moi je bloque encore sur la question de la base du noyau, je n'arrive pas à comprendre ce que l'on me demande réellement.

x y z et t sont les coordonnées d'une matrice sur la base B composée de 4 vecteurs (matrices)
x' y' z' t' sont les coordonnées de la matrice image sur la même base
les formules de f sont donc
x'=x+2z
y'=y+2t

[chanice 0404]

x y z et t sont les coordonnées d'une matrice sur la base B composée de 4 vecteurs (matrices)
x' y' z' t' sont les coordonnées de la matrice image sur la même base
les formules de f sont donc
x'=x+2z
y'=y+2t

vos explications sont claires, mais moi même je ne vois pas ce que l'on me demande.

je suis dans les choux, merci tout de même.

[Ben314]

Im(f), par définition, c'est l'ensemble des Y de l'ensemble d'arrivé qui peuvent s'écrire sous la forme Y=f(X) pour un certain X de l'ensemble de départ.
Ici, c'est donc l'ensemble des matrices M qui peuvent s'écrire sous la forme

[chanice 0404]

Salut,
Ton application f, elle associe à une matrice 2x2 une autre matrice 2x2 (i.e. l'ensemble de départ et d'arrivé de f, c'est M2(R)).

Par définition, le noyau d'une application linéaire, c'est l'ensemble des X de l'espace de départ tels que f(X)=0 où 0 désigne le vecteur nul de l'ensemble d'arrivé.
Donc, dans le cas présent, le noyau de f, c'est l'ensemble des matrices M telles que f(M)=0 où 0 désigne la matrice nulle.
Il faut donc chercher les telles que , c'est à dire

De même, Im(f), ça va être une partie de l'ensemble d'arrivé de f donc un ensemble de... matrices...

j'ai suivi le calcul je trouve ker(f)= vect (-2,0,1,0), (0,-2,0,1) c'est ça

[Ben314]

Perso, vu que c'est un ensemble de matrices, j'aurais plutôt écrit que


Mais tu peut aussi donner les réponses en terme de coordonnées des matrices dans la "base cannonique" de l'espace des matrices, c'est à dire dans
Les cordonnées d'une matrice dans cette base sont alors clairement

[chanice 0404]

merci beaucoup pour vos explications

Est-ce qu'il faut refaire de même pour im(f) mais avec x',y',z' et t'.
et je ne comprends pas pourquoi im(f) est une partie de l'ensemble d'arrivé de f (cf question 1) pour

lequel j'ai trouvé : a f(M)+b f(M)
(je ne sais pas trop si c'est de ça que vous me parlez).

[Ben314]

Im(f), par définition, c'est l'ensemble des Y de l'ensemble d'arrivé qui peuvent s'écrire sous la forme Y=f(X) pour un certain X de l'ensemble de départ.
Ici, c'est donc l'ensemble de toutes les matrices M qui peuvent s'écrire sous la forme

[chanice 0404]

donc vous voulez dire que

im(f) =

x *(1 0)+ y*(1 0)+z*(2 0)+t*(1 0)