Polynôme - Equation

par **axylin12** » 15 Sep 2006, 19:56

Voilà j'ai l'équation suivante :
(E): 6x4 + 5x3 - 38x2 + 5x + 6 = 0 (les chiffres après x sont les exposants.
Et voilà la question :
Montrer que si x est solution de l'équation (E) alors x est la solution de deux équations de second degré (E'1) et (E'2) que l'on déterminera.
Vous pouvez pas m'expliquer svp ??!

par **atito** » 15 Sep 2006, 20:10

pour pouvoir répondre à la question, il faut que tu puisses factoriser le polynôme en produit de deux polynômes de degres 2.
A toi! ;-)

par **axylin12** » 15 Sep 2006, 20:21

C'est à dire qu'en gros (E) serait égal à (E'1).(E'2) c'est ça ?
Si oui par combien dois-je diviser (E) pour obtenir les 2 équations (E') ?

par **Jacques COLLOT** » 15 Sep 2006, 20:28

Un polynôme du quatrième dégré a obligatoirement quatre solutions (réelles ou complexes). E peut donc se factoriser sous la forme :
6(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4).
En groupant les facteurs par deux on obtient deux équations du second dégré E1 et E2 (Il y a plusieurs possibilités). Autrement dit, si E1 = (x-x1)(x-x2) alors x1 qui est solution de E1 est également solution de E car E= E1*E2 (Si E1 = 0 ==> E =0)

Factorisons E
On essaye les diviseurs du terme indépendant : 6
Ce sont -6, -3, -2, -1 1, 2, 3, 6
On trouve facilement que E(-3)= 0 et E(2) = 0 (C'est à dire que l'on remplace x par -3 et puis par 2 et on trouve E=0)
Donc E est divisible par x+3 et x-2
On obtient : E=(x-2)(6x3+17x2-4x-3)=(x-2)(x+3)(6x2-x-1)
Le dernier facteur se factorise aussi facilement
Finalement :
E=6(x-2)(x+3)(x+1/3)(x-1/2)
Tu groupes les facteurs par deux pour obtenir E1 et E2
Par exemple :
E=(x2-x-6)(6x2-x-1)
Jacques

par **axylin12** » 15 Sep 2006, 20:34

En fait j'aimerais beaucoup que quelqu'un me fasse la question car je pourrais ainsi accéder aux réponses, à la compréhension mais également à la rédaction (comment rédiger la réponse à ce genre de question) !

par **atito** » 15 Sep 2006, 20:38

axylin12 a écrit:En fait j'aimerais beaucoup que quelqu'un me fasse la question car je pourrais ainsi accéder aux réponses, à la compréhension mais également à la rédaction (comment rédiger la réponse à ce genre de question) !

Pour que tu puisses avancer je crois qu'il vaut mieux que tu nous donnes ta version après avoir compris ce que mon camarade a expliqué. Si t'as pas compris un étape tu demandes!
On peut rédiger pour toi mais ca va te servir à rien ( je pense)

par **axylin12** » 15 Sep 2006, 20:44

Ben en fait j'ai rien compris donc le mieux c'est que je vous dise mes acquis :
- forme canonique
- résolution d'un trinôme avec delta
En fait quelqu'un pourrait-il me donner le listage des étapes en version simplifiée si ce n'est trop demandé ?
Merci d'avance.

par **atito** » 15 Sep 2006, 21:02

C'est vrai que ce que t'as proposé comme Solution Jaques n'est pas évident ( trouver deux racines évidentes)

On fait, ce que t'as di au début pour etre exploiter ainsi:

6x4 + 5x3 - 38x2 + 5x + 6 =6(x²+ax+b)(x²+cx+d) ( avec a, b, c et d rèels)
( ca c'est toujours vrai si je me trompe pas)
et là t'auras un système de 4 équations à 4 inconnus mais facile ( en effet, le système contient des équations en deux inconnus seulement). Le reste n'est qu'un calcul et ça doit etre clair ca sinon...

par **abcd22** » 15 Sep 2006, 21:26

Bonsoir !
Est-ce que tu as recopié l'énoncé exact ? Parce que tu dis :

axylin12 a écrit:Montrer que si x est solution de l'équation (E) alors x est la solution de deux équations de second degré (E'1) et (E'2) que l'on déterminera.

or si on factorise le polynôme de degré 4 en un produit de deux polynômes de degré 2, x solution de E implique que x est solution d'une des deux équations du second degré obtenues ainsi.

par **axylin12** » 15 Sep 2006, 21:36

Non c'est l'énoncé au mot près !

par **abcd22** » 15 Sep 2006, 21:41

Ah bon, c'est bizarre alors, je ne vois pas d'où sortir deux équations du second degré qui répondent à cette question, et surtout deux équations du second degré ne peuvent pas avoir 4 solutions distinctes communes... Peut-être que c'est l'énoncé qui est mal posé.

par **axylin12** » 15 Sep 2006, 21:43

Ben merde...

par **atito** » 15 Sep 2006, 22:43

abcd22 a écrit:Bonsoir !
Est-ce que tu as recopié l'énoncé exact ? Parce que tu dis :

or si on factorise le polynôme de degré 4 en un produit de deux polynômes de degré 2, x solution de E implique que x est solution d'une des deux équations du second degré obtenues ainsi.

l'énoncé me semble acceptable dans la mesure ou x est une inconnue.

Ya juste un petit détail. Il fallait dire "x est une solution" et pas "x est la solution" car meme dans le cas d'une polynôme de degrés deux on peut pas parler de la solution ( sauf dans le que particulier ou delta =0 bien sûr)

Cherche pas loin le but de l'exo est de saoir décomposer les polynômes sur R ni + ni -.
Coridalement,

par **abcd22** » 15 Sep 2006, 22:55

Je vois pas trop l'intérêt de la question, autant dire qu'on veut une décomposition du polynôme tout de suite, puisqu'on n'a pas plus de méthode générale pour trouver deux facteurs de degré 2 que pour trouver les 4 racines (en écrivant

on a 4 inconnues à trouver, soit autant que pour trouver les facteurs de degré 2), et en plus pour les facteurs de degré 2 il y a plusieurs possibilités... Enfin bref on retiendra que l'énoncé n'est pas très clair.

Polynôme - Equation

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