Questions autour d'un exercice

[Trident]

Salut, voici un exercice pas trop compliqué mais je me demande si on ne pourrait pas affaiblir ses hypothèses.

Soit f une fonction de classe C1 sur [0;1]. On suppose que f(0)=0 et que f '(x) > 0 pour x dans [0;1]. Montrer que la courbe de f est au dessus d'une droite, autrement dit, montrer qu'il existe m > 0 tel que pour tout x dans [0;1], f(x) >= mx.

Ma résolution d'abord :

Comme f est dérivable sur [0;1], d'après le T.A.F, pour chaque x de [0;1], il existe dans ]0;1[ tel que, autrement dit , .

Puis, comme f est C1 sur [0;1], f ' est continue sur [0;1] donc elle admet un minimum qu'on note m. Comme ce minimum est atteint, il s'écrit f ' de quelque chose, donc m > 0 car f ' > 0. Donc, pour tout x de [0;1], f(x) >= mx.


Ma question maintenant. Au lieu de considérer f C1, ne peut-on pas la considérer juste dérivable ?

Quand on arrive à , on peut pas poser car [0;1] est un fermé borné ? :scotch:

[arnaud32]

rien ne t'assure alors que ton m ainsi defini est non nul

[Trident]

rien ne t'assure alors que ton m ainsi defini est non nul

Ah juste ça? Mais mon inf existe quand même? On peut pas enlever l'hypothèse C1 et rajouter une autre hypothèse pas trop forte qui assure que mon inf ainsi défini et non nul?

[lulubibi28]

Il faudrait voir si la dérivée s'annule avec une certaine valeur de x ...
Généralement , la notion de dérivabilité est relié avec la notion de continuité , mais la réciproque d'un certain théorème n'est pas garantie dans tous les cas (j'ai oublié le nom du théorème en question ) ...

As-tu pensé à faire un tableau de variation de la fonction ?

J'ai l'impression que m joue le rôle de paramètre puisque l'énoncé stipule qu'il demande de montrer qu'il existe m > 0 , donc il est possible de trouver plusieurs valeurs de m ...

[Doraki]

C'est vrai si f est croissante et dérivable en 0 avec f'(0) > 0 :

comme f'(0) > 0 il existe un a > 0 (par exemple f'(0)/2) et un x0 > 0 tels que x0 <= 1 et
pour tout x dans [0;x0], f(x) >= ax.
Comme f est croissante, f(x) >= f(x0) >= a x0 pour tout x dans [x0 ; 1].

Donc f(x)/x >= ax0 pour tout x de [0;1], et donc l'inf de f(x)/x est bien strictement positif.

[Ben314]

On a aussi le résultat en supposant que f est continue sur [0,1], strictement positive sur ]0,1] et qu'elle est dérivable en 0 avec f'(0)>0.
Dans ce cas, la preuve vient du fait que les hypothèses implique que la fonction g:x->f(x)/x se prolonge par continuité en 0 et qu'une fois prolongée, elle est strictement positive et continue sur [0,1] donc atteint un min qui est >0.

[Trident]

On a aussi le résultat en supposant que f est continue sur [0,1], strictement positive sur ]0,1] et qu'elle est dérivable en 0 avec f'(0)>0.
Dans ce cas, la preuve vient du fait que les hypothèses implique que la fonction g:x->f(x)/x se prolonge par continuité en 0 et qu'une fois prolongée, elle est strictement positive et continue sur [0,1] donc atteint un min qui est >0.

Merci à vous ! On peut même supposer f continue sur ]0,1] seulement ? Et bien sûr' il faut supposer f(0)=0.

[Trident]

J'ai une autre question. On reprend les mêmes hypothèses que mon 1er message. Graphiquement, la droite en question est celle qui passe par l'origine et le point du graphe de f pour lequel la tangente est la plus horizontale. Maintenant, si je reprend les hypothèses du message de Ben, comment trouver graphiquement le minimum de f(x)|x?

Doraki, j'ai pas compris pourquoi il existe un tel x0 comme tu l'as défini.

[Ben314]

Merci à vous ! On peut même supposer f continue sur ]0,1] seulement ? Et bien sûr' il faut supposer f(0)=0.

Vu qu'il faut la supposer dérivable en 0 et que dérivable => continue...

[Ben314]

J'ai une autre question. On reprend les mêmes hypothèses que mon 1er message. Graphiquement, la droite en question est celle qui passe par l'origine et le point du graphe de f pour lequel la tangente est la plus horizontale. Maintenant, si je reprend les hypothèses du message de Ben, comment trouver graphiquement le minimum de f(x)|x?

est la pente de la droite passant par (0,0) et (x,f(x)) donc chercher le min de f(x)/x ça veut très précisément dire chercher la "corde" (OM) de pente minimale lorsque le point M décrit la courbe.

Si ça t'amuse, vérifie par le calcul le résultat qui est géométriquement évident, à savoir que, si ce minimum est atteint en xo alors f'(xo)=f(xo)/xo (i.e. la tangente à la courbe en ce point Mo est la droite (OMo))

[Trident]

Vu qu'il faut la supposer dérivable en 0 et que dérivable => continue...

Je crois même qu'il suffit de supposer f continue sur ]0,1], f strict positive sur ]0,1], et au lieu de f dérivable en 0, seulement supposer que f(x)|x a une limite à droite en 0 (limite >0 que je note l).

Dans ce cas, la fonction h définie par h(x) = f(x)|x pour x dans ]0,1] et h(0)=l est continue sur [0,1] donc admet un minimum qui est alors >0.

Merci pour la 2e réponse.

[Ben314]

Je crois même qu'il suffit de supposer f continue sur ]0,1], f strict positive sur ]0,1], et au lieu de f dérivable en 0, seulement supposer que f(x)|x a une limite à droite en 0 (limite >0 que je note l).

Si tu veut, mais si f(x)/x admet une limite finie, ça signifie en particulier que f(x) tend vers 0 donc qu'on peut prolonger f par continuité en 0 en posant f(0)=0 et dans ce cas le rapport f(x)/x, c'est (f(x)-f(0))/(x-0) et l'existence d'une limite à ce rapport traduit précisément la dérivabilité en 0.
Donc... c'est la même hypothèse formulée différemment...

[Trident]

Si tu veut, mais si f(x)/x admet une limite finie, ça signifie en particulier que f(x) tend vers 0 donc qu'on peut prolonger f par continuité en 0 en posant f(0)=0 et dans ce cas le rapport f(x)/x, c'est (f(x)-f(0))/(x-0) et l'existence d'une limite à ce rapport traduit précisément la dérivabilité en 0.
Donc... c'est la même hypothèse formulée différemment...

Oui c'est vrai, bien joué.

[guido11]

Bonjour,
Je dois résoudre ceci:

Soit la fonction f(x)= 1+ vx

a) calculer la pente de la tangente en x=1
b) écrire l'équation de la tangente à cette fonction en x=1

POUVEZ-VOUS M'AIDER????????

[guido11]

Bonjour,
Je dois résoudre ceci:

Soit la fonction f(x)= 1+ vx

a) calculer la pente de la tangente en x=1
b) écrire l'équation de la tangente à cette fonction en x=1

POUVEZ-VOUS M'AIDER????????