Limite avec ln et suite

[niako11]

Salut a tous
Soit un=ln((1+1/n^2)(1+2/n^2)...(1+n/n^2)) je ne sais comment transformer cette equation il devrait avoir 1+2++3...+n et 1^2+2^2+...n^2 merci a tous :help:

[zygomatique]

salut

ln(ab) = ln a +ln b ...

puis dl .... ou encadrement ....

[paquito]

Considérons l'intervalle =[1; 1+1/n] et les n réels 1+k/n², k=1à n, ils divisent l'intervalle en n parties égales et sur chaque intervalle [1+(k-1)/n²; 1+k/n²], on a ln(1+(k-1)/n²) ln(1+k/n²); d'où

, soit
, soit encore
.
Et voilà, je pensais qu'on pourrait s'en tirer dans le cadre du programme de terminale avec la méthode des rectangles, mais on est bloqué! Si on utilise le développement limité à l'ordre 2 de ln(x), soit
ln(x)=x-x²/2 +0(x²), où 0(x²) est un terme qui tend vers 0 infiniment plus vite que x², on trouve tout de suite que tend vers 1/2. Je ne vois pas comment faire autrement. Pour moi cet exercice est totalement hors programme. Mais, comme c'est à faire à la maison, on peut tricher un peu:

déjà, j'utilise le fait que F(x)=xln(x)-x est une primitive de f(x) =ln(x) sur ]0; +oo[; tu peut toujours dire que tu l'as vu dans un exercice et que tu as bien vérifié que F'(x)=ln(x);

ensuite on t'as parlé des d.l. (développements limités) et tu t'es renseigné et comme le d.l. de ln(1+x)
est un grand classique, tu as trouvé à l'ordre 2:
avec qui tend vers 0 quand x tend vers 0, ce qui t'as donné :

avec qui tend vers 0 quand n tend vers +oo.

Poson , il vient = donc converge vers
. Il reste à conclure pour , ce que je te laisse faire..