Décomposition en éléments simples

[lizeane]

Bonjour,

je dois faire cette décomposition mais je coince, un petit coup de main serait fortement apprécié

[Ben314]

Salut,
Il y a des tonne de méthodes plus ou moins rapide.
En particulier, on gagne énormément de temps en connaissant la théorie qui dit que, dans un tel cas, il existe des constantes réelles a,b,c telles que, pour tout x réel différent de -1 (et même pour tout x complexe différent de -1 et de +-i) on ait
.
Pour trouver , tu multiplie l'égalité par puis tu prend .
Pour trouver et , tu multiplie l'égalité par puis tu prend (et tu utilise le fait que et sont réels)

[lizeane]

bonjour et merci de prendre du temps pour me répondre, mais j'avoue que je ne comprends pas très bien la méthode que tu me présentes.

Je pensais déterminer a et b par identification, mais la constante 2 qui est au dénominateur me perturbe, je ne sais pas quoi en faire.

Mais, je suis de nature curieuse aussi si tu pouvais me détailler ta méthode, j'en serai ravie

[Robic]

Tu peux en effet faire par identification. Dans ce cas, tu mets au même dénominateur les deux termes du membre de droite : le dénominateur commun sera (x+1)(x²+1). Puis tu multiplies en haut et en bas par 2 afin que le dénominateur soit 2(x+1)(x²+1). Maintenant tu peux identifier (après avoir développé).

[lizeane]

2(a(x²+1)+b(x+1)) / 2(x+1)(x²+1)

c'est ça ?

[Robic]

Non, je parlais du second membre de la décomposition a priori donnée par Ben314.

Donc :

[lizeane]

pourquoi cx+d ?
et ou est b ?

désolée

[Robic]

Peu importe que les coefficients s'appellent a, b, c ou A, ou W, ou ou autre. Ce qui est important, c'est de savoir qu'il y a trois coefficients à trouver. Ben314 les a appelés a, c et d (c'est son droit), donc j'ai poursuivi avec a, c et d.

Peut-être ne comprends-tu pas la décomposition a priori écrite par Ben ? C'est ça qui est important. Il y a une théorie qui l'explique. Si tu ne la connais pas, je ne vois pas comment tu peux faire. Mais puisque tu connais l'expression « décomposition en éléments simples » (le titre du sujet), j'imagine que tu as vu un peu de théorie. N'hésite pas à la revoir si quelque chose semble t'échapper. :id:

[lizeane]

Merci Robic,

en effet je ne comprends pas la décomposition de Ben. Et je ne comprends pas non plus pourquoi 3 coef alors que la factorisation du dénominateur comprends 2 termes et 1 constante.

pour mémoire : la fraction est la suivante 4x²+x+1 / 2(x+1)(x²+1)

[Robic]

Ben c'est la théorie !

Tu n'as pas eu de cours à ce sujet ? Ou bien tu ne comprends pas le cours ?

Au dénominateur on a un premier facteur de degré 1, x+1, donc dans la décomposition on aura un premier terme en , et on a un second facteur de degré 2, x²+1, donc dans la décomposition on aura un second terme en .

[lizeane]

si j'ai eu un cours dans lequel on parle de méthode par identification (vu que la il n'y pas lieu de faire de division euclidienne) sous la forme



Ma question était de savoir ce que je faisais de la constante (ici 2) qui est au dénominateur

[Ben314]

La constante, elle compte totalement "pour du beurre" vu que tu peut la mettre à des tas d'endroits où elle ne te gène absolument pas pour les calculs :
Soit en écrivant ce qui signifie que tu fait les calculs sans le 2 et que tu divisera à la fin ton résultat par 2 (moyennement malin....)
Soit en écrivant encore plus bêtement que
De toute façon, quelque soit la méthode que tu emploie pour trouver les coeffs., elle ne gène absolument pas cette pauvre constante...

Ensuite, le fait que tu écrive ça :

si j'ai eu un cours dans lequel on parle de méthode par identification (vu que la il n'y pas lieu de faire de division euclidienne) sous la forme

Signifie que, soit tu as mal recopié le cours, soit que celui qui a fait le cours a fait une ÉNORME erreur (j'opterais à priori pour la première solution...)

Je pense que c'est pas stupide du tout que tu essaye de trouver (par identification vu qu'il semble que ce soit la seule méthode que tu ait vue) et tels que, pour tout réel différent de -1, on ait :
ça te permettra de comprendre... pourquoi ça ne marche pas...

[Ben314]

...Ben314 les a appelés a, c et d (c'est son droit)...

Oui, mais je sais pas si dans la phrase suivante j'ai le droit d'écrire "Pour trouver b et c, tu multiplie..." :mur:

[lizeane]

je confirme ça ne marche pas !!!

[Ben314]

je confirme ça ne marche pas !!!

Ben... oui...
Et ce n'est pas très étonnant vu que tu obtient un système à deux inconnues et alors que tu as 3 équations : une pour l'égalité des constantes, une pour l'égalité des coeff. en et une pour l'égalité des coeffs en

Essaye ensuite avec ça comme hypothése : et tu verra que ça se passe nettemet mieux (3 équation et 3 inconnues...)

P.S. J'ai mis b et c cette fois... :zen:

[lizeane]

bonjour ,

alors je trouve

a=2
b=2
c=-1

sauf erreur de calculs (tout à fait possible) l'égalité ne se vérifie pas :mur: :help:

PS: j'ai bien noté la présence du b :we:

[Ben314]

Tu as du te tromper dans les calculs :
sauf erreur a=1 ; b=1 et c=-1/2

[lizeane]

re,

alors tout va mieux, enfin façon de parler^^
donc non mes calculs sont bons mon égalité se vérifie.. ouf !!
C'est toujours mon histoire de constante si tu multiplie par le fameux "2" tu retrouves mes résultats.
Par contre si tu as des cours du style "décomposition en éléments simples pour les nuls" je prends !