Trigonométrie 1ere

[leavnd]

Bonsoir à tous,

J'ai un exercice dans le quel on a un polynôme P tel que : P(sin(x))=sin(5x).
On a déjà trouvé la valeur de sin(5x) en classe ( mais j'ai perdu la feuille ). On doit simplement rappeler la valeur de sin(5x).
J'ai ré-essayé de trouver la valeur moi-même à l'aide de la formule sin(a+b)= sin(a)cos(b) =sin(b)cos(a)
1) Je ne suis pas sure que ce soit la bonne formule pour trouver cette valeur.
2) Je m'emmêle véritablement dans les sin(x) et cos(x)
3) Je veux pas de cos(x) dans ma formule !

Merci d'avance.

[WillyCagnes]

bsr
sin(5x) en fonction de sin(x)

sin(5x)= 16 sin^5 x - 20 sin^3 x + 5 sinx

demo
= sin5x + sinx - sinx
= 2 sin3x cos2x - sinx
= 2 (3sinx - 4sin^3 x) (1 - 2sin^2 x) - sinx
= 2 (8sin^5 x - 10sin^3 x + 3sinx) - sinx
= 16sin^5 x - 20sin^3 x + 5sinx

[leavnd]

bsr
sin(5x) en fonction de sin(x)

sin(5x)= 16 sin^5 x - 20 sin^3 x + 5 sinx

Halelujia ! Merci beaucoup !!!

[WillyCagnes]

autrement
sin5x

= sin(4x + x)
= sin4x cosx + cos4x sinx
= 2 sin2x cos2x cosx + (1 - 2sin^2 2x) sinx
= 4sinx cosx cos2x cosx + sinx - 2sin^2 x sinx
= 4 sinx cos^2 x (1 - 2sin^2 x) + sinx - 2 (2sinx cosx)^2 sinx
= 4 sinx (1 - sin^2 x) (1 - 2sin^2 x) + sinx - 2 (4sin^2 x cos^2 x) sinx
= 4 sinx (1 - 3 sin^2 x + 2sn^4 x) + sinx - 2 [4 sin^3 x * (1 - sin^2 x)]
= 4 sinx - 12sin^3 x + 8sin^5 x + sinx - 8sin^3 x + 8 sin^5 x
= 16 sin^5 x - 20 sin^3 x + 5 sinx.

[leavnd]

autrement
sin5x

= sin(4x + x)
= sin4x cosx + cos4x sinx
= 2 sin2x cos2x cosx + (1 - 2sin^2 2x) sinx
= 4sinx cosx cos2x cosx + sinx - 2sin^2 x sinx
= 4 sinx cos^2 x (1 - 2sin^2 x) + sinx - 2 (2sinx cosx)^2 sinx
= 4 sinx (1 - sin^2 x) (1 - 2sin^2 x) + sinx - 2 (4sin^2 x cos^2 x) sinx
= 4 sinx (1 - 3 sin^2 x + 2sn^4 x) + sinx - 2 [4 sin^3 x * (1 - sin^2 x)]
= 4 sinx - 12sin^3 x + 8sin^5 x + sinx - 8sin^3 x + 8 sin^5 x
= 16 sin^5 x - 20 sin^3 x + 5 sinx.

Merci bien , c'est effectivement ce que j'ai désespérément tenté de faire...