Étude d'une population

[jeckhys]

Bonjour à tous,

J'ai un devoir maison de spécialité mathématiques pour ces vacances et voilà, je sèche déjà sur la question 2) b) du premier exercice sur des termes que je ne comprends pas.. on étudie ici une population :

"Dans une population, chaque individu est susceptible de contracter une maladie et il peut présenter trois états face à cette maladie :
* immunisé, état 1 ;
* malade, état 2 ;
* non immunisé et non malade, état 3.

Chaque jour, son état peut changer selon les règles suivantes :

* s'il est dans l'état 1, il peut y rester avec une probabilité de 0,9 ou passer à l'état 3 ;
* s'il est dans l'état 2, il peut y rester avec une probabilité de 0,2 ou passer à l'état 1 ;
* s'il est dans l'état 3, il peut y rester avec une probabilité de 0,5 ou passer à l'état 2."

1) Représenter la situation par un graphe fléché. [Réussi]
2) a) Déterminer la matrice M représentant la situation.

=> M =

2) b) M semble-t-elle admettre une mesure stationnaire ?
Si oui, la déterminer empiriquement (les valeurs seront arrondies à 10^(-2)).

=> Je ne comprends pas le terme mesure stationnaire (quand je recherche des informations dessus, je tombe sur des chaînes de Markov ou d'autre résultats qui ne m'aide pas à mon niveau) ni le terme empiriquement.

Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?

[Thomas Joseph]

Une mesure stationnaire pour cette matrice, si elle existe, correspond à un état initial de la population qui soit stable.
C'est à dire un vecteur ligne (immunisés, malades, non immunisé non malade) invariant par multiplication par la matrice.

Empiriquement : cela signifie que tu dois trouver ce vecteur ligne par l'expérimentation.

[jeckhys]

Une mesure stationnaire pour cette matrice, si elle existe, correspond à un état initial de la population qui soit stable.
C'est à dire un vecteur ligne (immunisés, malades, non immunisé non malade) invariant par multiplication par la matrice.

Empiriquement : cela signifie que tu dois trouver ce vecteur ligne par l'expérimentation.

Tout d'abord merci de ta réponse

2) b) Pour ce qui est du calcul par l'expérimentation, j'ai choisi de calculer via la calculatrice M^10 et M^20 (je ne sais pas si c'était exactement ce qu'il fallait faire où si je devais faire des calculs de M^n en fonction de n d'abord...). Je trouve finalement que la matrice M semble tendre vers un état stable qui est :



Cet état stable se traduit par une stabilisation des trois états vers un même vecteur-ligne qui est notre mesure stationnaire :

(arrondi à 10^(-2) près)

Du coup je crois que c'est assez juste, dites moi si j'ai oublié quelque chose au niveau de la justification mais je ne pense pas.

3) a) "Écrire l'équation que doit satisfaire cette mesure stationnaire sous la forme en précisant la matrice P."

Comme tu l'as dis dans ta réponse, la mesure stationnaire est un vecteur-ligne invariant par multiplication par la matrice M. De là, on peut écrire :



Si on traduit cela sous forme de système d'équations, on obtient :

0,9a + 0,8b = a
0,2b + 0,5c = b
0,1a + 0,5c = c



0,8b - 0,1a = 0
0,5c - 0,8b = 0
0,1a - 0,5c = 0

Ce qui se traduit matriciellement :



On en déduit :



Suis-je sur la bonne voie ?

[Thomas Joseph]

Question 2b) : c'est bon
Question 3a) : c'est juste aussi mais tu aurais pu éviter de passer par le système linéaire








donc

et on retrouve la matrice que tu as obtenue

[jeckhys]

Merci de tes réponses, effectivement j'avais pensé à faire comme tu as dis pour la question 3) a) également.

Je voulais être sûr de mes résultats pour continuer, mais je bloque à la 3) b) :

"P est-elle inversible ? Combien d'équations du système correspondant peut-on garder ? Quelle équation doit-on rajouter ?"

Ma calculette, ainsi que mon calcul du déterminant pour une matrice 3x3 me montre que P n'est pas inversible ; or je ne peux citer simplement "d'après la calculette P n'est pas inversible" et le calcul du déterminant d'une matrice 3x3 n'est pas à mon programme. Je ne vois pas comment justifier ceci

Pour le nombre d'équations du système correspondant je ne comprends pas vraiment le sens de la question.. dois-je reprendre mon système d'équations de la 3) a) ?

Si c'est le cas, je pense qu'une équation à rajouter serait a + b + c = 1 (vu qu'on parle de probabilités)

Pouvez-vous m'éclairer ?

Merci d'avance

[Thomas Joseph]

L'équation que tu proposes de rajouter est bonne.

Pour non inversible :
tu peux remarquer que la ligne 2 est combinaison linéaire des ligne 1 et 3.
C'est à dire qu'il existe k et p tels que k*ligne1+p*ligne3=ligne2
Cela implique que la matrice n'est pas inversible.
Je te laisse trouver k et p.

[jeckhys]

L'équation que tu proposes de rajouter est bonne.

Pour non inversible :
tu peux remarquer que la ligne 2 est combinaison linéaire des ligne 1 et 3.
C'est à dire qu'il existe k et p tels que k*ligne1+p*ligne3=ligne2
Cela implique que la matrice n'est pas inversible.
Je te laisse trouver k et p.

Merci de ta réponse !

J'ai effectivement trouvé k = -8 et p = -1,6 et cela fonctionne.
Pour le nombre d'équations à garder cependant je ne comprends pas bien où l'on doit en venir, y en a-t-il certaines qui ne fonctionnent pas ?

[paquito]

Tu peux calculer[P]^-1 pour constater que P n'est pas inversible. Même si a+b+c =1, (a, b, c)xP va fournir une infinité de solutions, donc je comprends mal ce que l'on te demande!

[Thomas Joseph]

Merci de ta réponse !

J'ai effectivement trouvé k = -8 et p = -1,6 et cela fonctionne.
Pour le nombre d'équations à garder cependant je ne comprends pas bien où l'on doit en venir, y en a-t-il certaines qui ne fonctionnent pas ?

Tu viens de prouver que la ligne 2 est combinaison linéaire des lignes 1 et 3, elle est donc inutile (redondante avec les infos apportées par les lignes 1 et 3)
Tu peux donc la remplacer par l'équation a+b+c=1 que tu as déjà identifiée.

[jeckhys]

D'accord, je comprends mieux pourquoi on peut éliminer une équation, la ligne 2 est en surplus.
Cependant, je ne comprends pas comment l'éliminer ni comment la remplacer, j'aurais bien pensé à faire ceci mais cela me semble incorrect :



Je ne pense pas qu'il faille modifier la ligne 2 de P puisque comme l'on multiplie vecteur-ligne avec une matrice carrée, on va faire ligne * colonne et donc en modifiant la ligne 2 de la matrice, eh bien j'en modifie chacune des colonnes et donc chacune des équations finales qui découlent de

Je ne sais pas si vous voyez ce que je veux dire ? Je cherche à éliminer une des trois équations mais je ne sais pas laquelle et je pense que je me perds dans ma démarche...

[Thomas Joseph]

"P est-elle inversible ? Combien d'équations du système correspondant peut-on garder ? Quelle équation doit-on rajouter ?"

Maintenant que tu as trouvé quelle ligne supprimer, l'énoncé te conseille de passer aux équations, de ne plus travailler à partir de matrices.

[jeckhys]

Maintenant que tu as trouvé quelle ligne supprimer, l'énoncé te conseille de passer aux équations, de ne plus travailler à partir de matrices.

Merci j'ai finalement trouvé, mais j'ai du mal pour la question suivante (encore) :

"Voici un calcul permettant de trouver la mesure stationnaire, lorsque B est le vecteur colonne :

.

Que contient la matrice A ? Justifier."

Je voulais dire que la matrice A^(-1) ressemblais à quelque chose comme :



Du coup je pensais peut-être retrouver A en inversant A^(-1) mais cela ne fonctionne pas, je ne vois pas comment procéder.

[Thomas Joseph]

N'ayant pas eu la suite de l'énoncé au départ et m'étant basé sur la matrice M que tu as proposée je t'ai proposé de considérer l'état stationnaire comme un vecteur ligne.

En lisant rapidement la question 3a) je n'ai pas fait attention :
on te demande de travailler sur P*Pi, ce qui sous entend que Pi est un vecteur colonne. Les vecteurs état de départ sont des vecteurs colonne.

Il faut donc transposer tout le travail réalisé précédemment en commençant par transposer M.

Pour la dernière question que tu me poses :

il faudra remplacer la dernière ligne de P par (1,1,1). (on a en effet précédemment considéré que la seconde ligne était inutile, on peut faire de même avec la troisième qui est combinaison linéaire des deux première). Tu obtiens ainsi une matrice A inversible qui vérifie :
A*Pi=B
on a alors en composant à gauche par A^-1 dans les deux membres
Pi=A^-1*B

[jeckhys]

Tout fonctionne parfaitement, j'ai pu modifier et finir l'exercice sans soucis. Merci beaucoup de ton aide !