Polynôme et application linéaire

[bentaarito]

Pour la linéarité on n'a pas besoin de l'indication, utilise la linéarité de la dérivation

[Bachelard]

Comment ça ?

[bentaarito]

Comment on montre qu'une application est linéaire? Connais-tu ton cours??

On est là pour aider, mais là j'ai l'impression que tu veux nous faire faire tes devoirs..
Il faut montrer un minimum d'effort pour pouvoir compter sur la bonne volonté des gens sur ce forum

[Bachelard]

Je connais mon cours. Mais comme je vous l'ai dit précédemment, c'est l’écriture de l'application qui me dérange ici.
Par exemple, si on prend (u,v) et lambda avec f(lambda(u)+v) = lambda(f(u))+f(v) Je n'arrive pas à voir ce que représente v.

[bentaarito]

C'est qui f? u? et v?
ton application va de quel espace vers quel espace?

[bentaarito]

Bon je réponds à ma question dans le but de te débloquer:

Ici prend en argument des polynomes de degrés <= k. C'est plus judicieux de les appeler donc P et Q (plutot que u et v)
Prends un scalaire , et calcule

[Bachelard]

D'accord merci mais que représente Q ici ?

[Robic]

Bachelard : tu devrais tout relire en étant calme et détendu parce que j'ai l'impression que tu sautes une phrase sur deux. Quand tu demandes « Et si vous avez une idée pour l'image ... » tu sembles ignorer que la réponse a été apportée trois messages plus haut. Et pour savoir ce que représente Q, il suffit de lire Bentaarito juste au-dessus : « Ici \varphi_k prend en argument des polynomes de degrés Donc P et Q sont des polynômes de degrés <=k.

D'ailleurs tu dois te douter que ce sont des polynômes et non des vecteurs ou des fonctions quelconques puisque l'espace de départ est un espace de polynômes et non un espace de vecteurs ou de fonctions quelconques. (D'ailleurs tu devrais peut-être relire l'énoncé en étant calme et détendu, tu sembles ne pas l'avoir bien compris.)

Quoiqu'il en soit, pour ce genre de question, pour moi il y a une méthode qui marche quasiment tout le temps, c'est : traduire l'énoncé en écrivant les définitions. Ici, il faudra juste faire attention que l'espace de départ est un espace de polynômes (donc on notera ses éléments P et Q) et l'espace d'arrivée est un espace de vecteurs (on notera ses éléments u et v).

1) phi application linéaire ? J'écris la définition : phi est une application linéaire si et seulement si, pour tout P et Q polynômes et pour tout k réel on a phi(P + kQ) = phi(P) + k phi(Q). Je traduis l'énoncé : si et seulement si (P+kQ)(0) = P(0) + k Q(0), (P+kQ)'(0) = P'(0) + k Q'(0), etc. [c'est peut-être l'étape la plus difficile de cette question : il faut bien comprendre que si on applique la définition à P+kQ et non à P tout court, il faudra calculer (P+kQ)(0), (P+kQ)'(0) etc.] Pour l'instant je n'ai rien fait, j'ai juste traduit l'énoncé : tout le monde peut le faire. Pourtant j'ai avancé puisque je sais maintenant ce qu'il faut démontrer : que les dérivées successives en 0 vérifient (où n va de 0 à k). Et ça, c'est très facile à démontrer ! On a remplacé la question de départ, compliquée, en une question toute bête.

2) Le noyau ? J'écris la définition : P appartient au noyau si et seulement si phi(P) = 0 (le vecteur nul). Puis je traduis : phi(P), c'est (P(0), P'(0), ...) donc P appartient au noyau si et seulement si P(0)=0, P'(0)=0 et ainsi de suite jusque P^(k)(0)=0. Pour l'instant je n'ai rien fait, j'ai juste traduit l'énoncé : tout le monde peut le faire. Pourtant j'ai avancé puisque je sais maintenant ce qu'il faut démontrer : que les dérivées successives sont nulles en 0. C'est maintenant qu'il faut réfléchir et utiliser l'indication. Je ne détaille pas la suite (le calcul à faire dans l'indication), qui me semble facile (là encore on a remplacé la question de départ en quelque chose de relativement simple).

3) L'image ? La méthode judicieuse est celle donnée plus haut par bentaarito. Mais si on n'y pense pas, on écrit la définition : le vecteur u appartient à l'image de phi si et seulement s'il existe un polynôme P tel que phi(P) = u. Si on note u0, u1... les coordonnées de u on a donc : u appartient à l'image de phi si et seulement si P(0) = u0, P'(0) = u1, etc. On n'a rien fait, juste traduire l'énoncé, mais on a avancé : maintenant il va falloir réfléchir pour continuer.

4) phi est un isomorphisme ? Là encore, même méthode, on écrit la définition : phi est un isomorphisme si et seulement si phi est une application linéaire bijective. Application linéaire ? Ça a été fait plus haut. Bijectif ? J'écris la définition : phi est bijective si et seulement si etc. etc. (je ne détaille plus, j'espère que ce n'est plus la peine). Là encore ce n'est pas forcément la méthode la plus judicieuse : il vaut mieux utiliser un théorème du cours qui fait un lien entre la bijectivité et le noyau ou l'image (c'est-à-dire entre la bijectivité et l'injectivité et la surjectivité) et juste vérifier que ses hypothèses sont valables (une histoire de dimension entre l'espace de départ et l'espace d'arrivée). Mais si on ne se souvient pas de ce théorème, on ne peut pas être bloqué. (En fait, si on ne se souvient pas de ce théorème, on ferait mieux de réviser le cours parce qu'il est important...)

5) Déterminer l'inverse ? Là encore on traduit l'énoncé sans réfléchir : si phi est un isomorphisme, son inverse est l'application linéaire qui, pour tout vecteur (u0, u1, ..., uk) associe le polynôme P tel que P(0) = u0, P'(0) = u1, etc. Je n'ai pas réfléchi, j'ai juste traduit l'énoncé, tout le monde peut faire ça. Pourtant j'ai avancé : il s'agit donc de définir un polynôme en fonction de P(0), P'(0), etc. Cette fois seulement il faut réfléchir (on peut utiliser l'indication, je pense).

Mon message est long, j'espère que tu ne le liras pas en diagonale comme le reste de la discussion... (Et j'espère que tu me prendras au sérieux car ce qui précède, c'est le secret pour être bon en maths quand on n'est pas intelligent. Vraiment. Je l'ai appris en terminale, grâce à un prof qui nous obligeait à bien rédiger. Avant de se lancer dans les calculs, il nous forçait à partir de l'énoncé et traduire les définitions, et alors je me suis rendu compte que ça permettait de remplacer la question de départ par une question plus simple. Et, du jour au lendemain, je suis devenu bon en maths. C'est une vraie arnaque, en plus, vu que je n'ai pas l'intuition. Quand j'étais à la fac, je me disais : le secret en maths, c'est de savoir résoudre les questions faciles, puisque tout problème aussi compliqué soit-il se décompose en questions faciles (par cette méthode). Et ça marchait. Le truc, c'est donc : traduire les énoncés. Et je suis persuadé que c'est parce que tu ne le fais pas que tu es bloqué.)

[bentaarito]

Bravo @Robic pour ce message très instructif à mon gout. J'espère que Bachelard en tiendra compte parce que tout le secret pour pouvoir s'améliorer réside dans ce que tu as dit :)

[Bachelard]

Merci Robic c'est en effet un message très enrichissant.

[Robic]

Ah oui, tu n'as peut-être pas l'habitude des raisonnements mathématiques. En tout cas, je te conseille de prendre ton temps pour bien comprendre cette histoire de traduire un énoncé que j'ai essayé d'expliquer, par exemple de la réappliquer aux petits exercices corrigés que tu as vu en cours. Ils ont peut-être été corrigés plus rapidement, parce que ceux qui ont de l'intuition n'ont pas forcément besoin de procéder ainsi, mais je pense que ça vaut le coup de bien savoir appliquer ce que je considère comme une sorte de discipline de résolution.