Polynôme et application linéaire

[Bachelard]

Bonjour,

Je ne comprends pas comment déterminer le noyau et l'image (Question 1 et 3) de cette application. J'aurais besoin de votre aide si possible ...


Merci.

[bentaarito]

Qu'as tu essayé pour le moment?
(utilise l'indication)

[Bachelard]

Pas grand chose justement. J'essaie de reprendre la définition mais je n'arrive pas à commencer.

[bentaarito]

Commencons par le ker déjà,
Que peux tu dire d'un polynome de deg<= k, dont les k premières dérivées s'annulent en 0?

[Bachelard]

Que c'est le polynôme nul ?

[bentaarito]

correct. Mais pourquoi?

[Bachelard]

Parce que tous les a = 0

[bentaarito]

Pas très convaincant mais bon, si tu arrives à le voir, il reste juste à bien le rédiger.
Maintenant que dire d'un morphisme dont le noyau est réduit au vecteur nul?
Que dire de plus en regardant les dim des espaces de départ et arrivée?

[Bachelard]

Ha non, si quelque chose ne va pas, dites-le.
Mais c'est ici que je commence à bloquer.
Ça voudrait dire qu'il est injectif ?

[bentaarito]

Tu vois pas c'est quoi dans notre cas?

Connais-tu le théorème du rang? (pour ma 2eme question)

[Bachelard]

Oui je en vois pas exactement.
Et si je le connais.

[bentaarito]

Le seul polynome dont l'image est nulle par notre morphisme est le polynome nul, c'est ce que tu viens de me dire.

Or, par définition, le noyau d'un morphsime est l'ensemble des vecteurs de l'espace de départ dont l'image est nulle.

Ca doit répondre à ta question

[Bachelard]

Oui très bien merci.
Mais, ici, comment le démontrer en posant par exemple P ?
C'est vraiment la forme de l'application et la notation qui me dérangent.

[Bachelard]

Car je pensais juste dire :

Ker phik = polynome nul => phik injective => dim ker phik = 0 => dim im phik = Rk[X] ?

[bentaarito]

le theoreme du rang te dit que
cela te permet de conclure que ton morphisme est aussi surjectif, i.e c'est un isomorphisme

[Bachelard]

Je suis d'accord mais que faire de l'indication donnée ? Je ne vois pas comment exprimer phik en fonction des ai ...

[bentaarito]

Il faut calculer les k premieres dérivées puis évaluer en 0

[Bachelard]

Ok, c'est bon. Merci beaucoup.
Et si vous avez une idée pour l'image ...

[bentaarito]

L'image c'est tout l'espace d'arrivée, vu qu'elle est de dimension maximale
(c'est la définition même d'être surjectif!!)

(A noter que ca decoule directement du fait que l'espace de départ et celui d'arrivée sont de meme dimension dans la question 1)

[Bachelard]

Pour montrer la linéarité, on utilise l’écriture réduite ? Ça change des fonctions habituelles...