Coefficient binominal

[ayoub_96]

Bonjour,

J'ai une petite question qui parait bête mais me semble vraiment casse-tête : Pourquoi le coefficient binominal est toujours un entier naturel ! ?

Merci de me répondre aussitôt que possible

:D

[paquito]

Le coefficient binomial nCk est le nombre de façons de choisir k objets parmi n, l'ordre n'intervenant pas; donc par définition c'est forcement un nombre entier.
Je ne sais pas si tu as vu la notation n! définie par :
0!=1
1!=1
2!=1x2
3!=1x2x3
......
n!=1x2x3x......x(n-1)xn;

on démontre assez facilement que nCk=n!/(k!x(n-k)!)=n(n-1).......(n-k+1)/k(k-1)....x2x1 et donc ce quotient est toujours un entier; tout se simplifie;

Exemple: 8C5=8x7x6x5x4/5x4x3xx2x1=8x(5x4)/(5x4)x6/(3x2)x7=8x7=56.

Tu as peut être vu (je n'en sais rien car si tu es en 1°S, la définition des coefficients binomiaux est pour le moins spéciale) la relation pour k>=1 et n>=1:

nCk=(n-1)C(k-1)+(n-1)Ck; si tu initialise tous les nC0 à 1 et 1c1 a 1 tu as une relation de récurrence qui te prouve aussi que nCk est un entier.(Et qui donne le triangle de Pascal)

Je comprends que tu te poses des questions sur ces coefficients binomiaux qui apparaissent aussi bizarrement.

[landagama]

Le coefficient binomial (n k) est le nombre de chemins dans ton arbre (qui comporte des branches à 2 issues : succès ou échec) qui mènent à k succès.
Comme c'est un nombre de chemins, c'est un entier naturel !

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