Intégration par parties

[Kasparov]

Bonjour tout le monde, on m'a parlé d'une méthode d'intégration très intéressante qui a été récemment retiré du programme. Je suis un élève de terminale S;

Je sais bien que (fg)' = f'g + fg'
D'où int(f'g) = fg - int(fg')

mais j'ai besoin de passer au concret. Quelqu'un pourrait-il me donner des exemples où l'utilisation de l'intégration par parties s'avère être utile ? Merci d'avance :++:

[Sylviel]

Il y en a plein.

une simple :
primitive de x*sin(x)

Une des plus amusante :
trouver une primitive de ln(x).

Pour cela je te suggère d'écrire :
ln(x) = 1 * ln(x)

[Kasparov]

Il y en a plein.

une simple :
primitive de x*sin(x)

Une des plus amusante :
trouver une primitive de ln(x).

Pour cela je te suggère d'écrire :
ln(x) = 1 * ln(x)

Merci Sylviel, puissant comme technique, surtout sur ln :lol3:

[Sylviel]

Très puissant...

Tu verras peut-être un jour qu'en physique on peut souvent avoir deux approches équivalente :
- écrire les équations qui décrivent un système (par exemple les équations de mouvements que tu vois sous le nom de principe fondamentale de la mécanique : m*a=somme des forces)
- dire que la nature minimise une certaine énergie

et bien pour passer de la représentation "descriptive" à la représentation "énergétique" on utilise... une IPP :zen:

Attention toutefois :
lorsque tu fais une IPP tu fais une manip compliqué pour obtenir une intégrale pas forcément plus simple. Il faut avoir une certaine vision d'où on veut aller pour que ce soit utile...

Dans mon premier exemple si tu avais intégré x et dérivé sin tu te serais mordu les doigts !

[Kasparov]

Et sinon, pour les changements de variables, ça se passe comment?

[paquito]

Je note int(a; b)f(x)dx l'intégrale entre a et b de f(x)dx;
si F est une primitive de f et u que l'on supposera dérivable et inversible pour simplifier, une primitive de f(u)u' est F(u) donc:

int(u-1(a); u-1(b))f(u(t))u'(t)dt=F(b)-F(a)=int(a; b)f(x) dx; c'est le principe.

Un exemple: soit à calculer int(-1; 1)V(1-x²)dx, aire d'un demi-cercle de rayon 1.

On pose x= sint=u(t) donc t=arcsinx; dx/dt=cost, d'où dx=costdt et pour x=-1, t=-pi/2, pour x=1, t=pi/2;

d'où int(-1; 1)V(1-x²)dx=int(-pi/2; pi/2)V(1-sin²(t)(cos(t))dt=int(-pi/2; pi/2)cos²(t)dt.

Comme cos²t=(1/2)(1+cos(2t)), une primitive de cos²(t) est (1/2)(t+(1/2)sin(2t))=F(t).

F(pi/2)_F(-pi/2)=pi/4-(-pi/4)= pi/2 et ensuite,l'aire du cercle de rayon 1=pi!

C'est bien sûr un exemple parmi beaucoup d'autres.