Petit problème logarithme

[Drakula]

Bonsoir tout le monde j'ai besoin d'un petit coup de main pour démontrer une inégalité

Voici l'énoncé:

Soit fm définie sur ]0;+[ par
m entier strictement positif compris entre 1 et 10 inclus.
Une autre forme de la fonction est donnée


Montrer que pour tout nombre x > 0; >fm(x) ...

J'essayé de faire la différence entre les deux mais j'arrive a un truc trop compliqué....

Merci de vos réponses.

[Tiruxa]

Bonsoir
On sait déjà que pour tout réel x, x>0, ln(1+x) < x

[Drakula]

Donc en remplaçant juste x par m/e j'ai démontré l'inégalité ?

[Drakula]

Ensuite j'ai comme question, p et m sont deux entiers strictements positifs tels que p e^{x}+px[/TEX]
Donc la différence des 2 fonctions est positive ainsi Cm est au dessus de Cp sur ]0;+infini[

Mon raisonnement est cohérent ?

[Tiruxa]

Ensuite j'ai comme question, p et m sont deux entiers strictements positifs tels que p e^{x}+px[/TEX]
Donc la différence des 2 fonctions est positive ainsi Cm est au dessus de Cp sur ]0;+infini[

Mon raisonnement est cohérent ?

Oui c'est correct, tu peux rajouter : donc
car

Par contre pour la première question il faut étudier les variations de f (dérivée, tableau), avant d'appliquer l'inégalité que je citais dans mon précédent message.
Pour dériver utilise plutot la forme de départ de la fonction f, c'est plus facile.

[chan79]

Donc en remplaçant juste x par m/e j'ai démontré l'inégalité ?

Il suffit d'étudier la fonction telle que

[Tiruxa]

Il suffit d'étudier la fonction telle que

Oui aussi, cela me paraissait plus naturel d'étudier f mais bon...

On voit vite que la dérivée de f a le signe de (1-x), f(1) est donc le maximum de f, donc

f(x) inférieur à f(1) or f(1) =ln(1+m/e) avec ln(1+m/e) < m/e, on peut conclure.

[Black Jack]

Il me semble, peut être à tort ?, que le début a été un peu trop raccourci.

fm(x) = ln(e^x + mx) - x

fm'(x) = (e^x + m)/(e^x + mx) - 1
fm'(x) = (e^x + m - e^x - mx)/(e^x + mx)
fm'(x) = m(1 - x)/(e^x + mx)

fm'(x) > 0 pour x dans ]0 ; 1[ --> fm(x) est croissante.
fm'(x) = 0 pour x = 1
fm'(x) < 0 pour x dans ]1 ; +oo[ --> fm(x) est décroissante.

fm(x) est donc maximum pour x = 1 et ce max vaut fm(1) = ln(1 + m/e)

On a donc fm(x) <= ln(1 + m/e)
***
Etude de g(x) = ln(1 + x) - x (pour x >= 0)
g'(x) = 1/(1+x) - 1 = (1 - 1 - x)/(1+x) = -x/(x+1) < 0 et donc g(x) est décroissante.
g(0) = 0
---> g(x) <= 0
ln(1 + x) - x <= 0
ln(1+x) <= x

Et avec par exemple x = m/e (qui est > 0) --> ln(1 + m/e) < m/e
***
On a donc :
On a donc fm(x) <= ln(1 + m/e) < m/e
fm(x) < m/e

CQFD.
*****

:zen: