Prouver une inégalité avec des ln

[taugourde]

Bonjour,
Je souhaite montrer que l'inégalité suivante est vérifiée:
D(-A+lnA)+(1-D)(-B+lnB)>D(-C+lnC)+(1-D)(-E+lnE)

avec A=1/(1+((D(nm-1)b+(1-D)(n-1)p)/(nm(b^2-p^2)c^2)))
B=1/(1+((Dp+(1-D)b)/(nm(b^2-p^2)c^2)))
C=1/(1+((D(nm-1)+(1-D)(n-1))/(2nm(b-p)c^2)))
E=1/(1+((n-1)/(2n(b-p)c^2)))

avec D]0; 1[, m > 1, n > 1, b > 0, p]-b; b[, c > 0

Pourriez-vous m'aider svp?

[taugourde]

Bonjour,
Je souhaite montrer que l'inégalité suivante est vérifiée:
D(-A+lnA)+(1-D)(-B+lnB)>D(-C+lnC)+(1-D)(-E+lnE)

avec A=1/(1+((D(nm-1)b+(1-D)(n-1)p)/(nm(b^2-p^2)c^2)))
B=1/(1+((Dp+(1-D)b)/(nm(b^2-p^2)c^2)))
C=1/(1+((D(nm-1)+(1-D)(n-1))/(2nm(b-p)c^2)))
E=1/(1+((n-1)/(2n(b-p)c^2)))

avec D]0; 1[, m > 1, n > 1, b > 0, p]-b; b[, c > 0

Pourriez-vous m'aider svp?

[Robic]

Quelle horreur ! (Surtout écrit en ligne...)

Est-ce que c'est un exercice (auquel cas on sait qu'il y a une solution) ? Ou bien est-ce que c'est un calcul qui découle d'un projet, d'un TP ou je ne sais quoi et dont on ne sait même pas s'il y a une solution ? Parce que vu la tête du truc, je refuse de m'y intéresser - c'est un coup à devenir zinzin...

(Je suis désolé de ne pas pouvoir aider. Comme personne n'avait répondu, je me suis dit allons voir ça, mais quelle horreur !)

[taugourde]

C'est effectivement un calcul qui ne provient pas d'un exercice. Toutes les simulations sur les paramètres montrent que l'inégalité devrait être vérifiée. Merci pour la réponse, Robic. Je me demande si on ne pourrait pas de manière simple, en utilisant une propriété des ln, arriver à le montrer...

[Robic]

Quand on ré-écrit les formules de façon formatée, ça reste impressionnant :

Je souhaite montrer que l'inégalité suivante est vérifiée:


avec









avec , m > 1, n > 1, b > 0, , c > 0

Est-ce que tu as développé les logarithmes dans l'inégalité principale ? Par exemple si on développe lnA, lnB, lnC et lnE, peut-être qu'il y a des choses qui se simplifient vu que les formules se ressemblent un peu, non ?

Il s'agit de démontrer que :

c'est-à-dire :

soit :


Pour que le gros logarithme soit positif, il suffirait que A>C et B>E. Mais si cette condition était vraie, on aurait AD+(1-D)B > CD+(1-D)E du coup -AD-(1-D)(B)+CD+(1-D)E serait négatif, zut...

Non seulement ces inégalités sont ignobles, mais en plus elles ont l'air subtiles...

[Robic]

Le problème décrit ci-dessous a été réglé grâce à l'astuce de wserdx. Je laisse néanmoins ce message sinon on ne comprendrait pas de quoi parle wserdx.

--------
Il y a un gros bug !!!!!! Je n'ai jamais écrit f(x)=x² !!!!!! Dans l'éditeur j'ai écrit (là j'enlève les balises) :

c'est-à-dire :
[***]-AD+(1-D)(-B)+CD+(1-D)E+D\ln A+(1-D)\ln B-D\ln C-(1-D)\ln E>0[/***]
soit :
[***]-AD-(1-D)B+CD+(1-D)E+\ln\left[\left(\frac{A}{C}\right)^D\left(\frac{B}{E}\right)^{1-D}\right]>0[/***]

(J'ai vérifié, c'est du Latex réglementaire.)

Quand je disais qu'étudier ces inégalités rendait zinzin : l'éditeur Latex est devenu zinzin !

(J'ai fait quelques essais : j'arrive à afficher A>0 en Latex, mais -A>0 génère un f(x)=x² et pareil avec toute autre tentative contenant au moins deux caractères. Aurais-je atteint mon quota de Latex ? J'espère que ça ne va pas bugger ainsi dans les autres discussions...)

[Robic]

Essayons de comparer A etC. Je disais plus haut que peut-être A>C.

Mettons tout au même dénominateur. Le dénominateur commun est 2nm(b²-p²)c² et son signe est celui de b²-p². Or p est dans ]-b,b[ donc b²-p² est >0.

Donc vérifier A>C revient à vérifier l'inégalité avec les numérateurs (une fois la mise au même dénominateur effectuée) c'est-à-dire :
2D(nm-1)b+2(1-D)(n-1)p > (b+p)[D(nm-1)+(1-D)(n-1)]
[2p-b-p](1-D)(n-1) > [b+p-2b]D(nm-1)
(p-b)(1-D)(n-1) > (p-b)D(nm-1)
Or pC est équivalente à :
(1-D)(n-1) 0 et n>1 c'est encore équivalent à
[tex]\frac{1-D}{D} 1 mais le membre de droite aussi (puisque nm>1 et n>1) donc a priori tout est possible, AC, zut.

--------------
Tous ces bricolages ne mènent à rien... pour l'instant. Mais si l'inégalité est vraie, il y a peut-être un moyen de le démontrer en utilisant ce genre de bricolage (qui consiste à simplifier les calculs). Sauf si c'est vraiment subtil...

[wserdx]

Il y a un gros bug !!!!!! Je n'ai jamais écrit f(x)=x² !!!!!! Dans l'éditeur j'ai écrit (là j'enlève les balises) :

c'est-à-dire :
[***]-AD+(1-D)(-B)+CD+(1-D)E+D\ln A+(1-D)\ln B-D\ln C-(1-D)\ln E>0[/***]
soit :
[***]-AD-(1-D)B+CD+(1-D)E+\ln\left[\left(\frac{A}{C}\right)^D\left(\frac{B}{E}\right)^{1-D}\right]>0[/***]

(J'ai vérifié, c'est du Latex réglementaire.)

Quand je disais qu'étudier ces inégalités rendait zinzin : l'éditeur Latex est devenu zinzin !

(J'ai fait quelques essais : j'arrive à afficher A>0 en Latex, mais -A>0 génère un f(x)=x² et pareil avec toute autre tentative contenant au moins deux caractères. Aurais-je atteint mon quota de Latex ? J'espère que ça ne va pas bugger ainsi dans les autres discussions...)

C'est un bug que j'ai remarqué aussi qui arrive lorsque l'expression commence par "-". Pour contourner ce bug, je mets {} devant le -, soit par exemple TEX]{}-1/TEX donne

[Robic]

Merci wserdx, en effet ça marche avec ton astuce ! :++:

Bon, tout ça ne va pas aider taugourde et son inégalité de la mort...