Prouver une inégalité

[Mathieu0685]

La notation ((..)) signifie valeur absolue.

Soit f(x)= x + 2 - 2 ln(e^x+1)
et un la suite défini par u0=O et u(n+1)=f(un)
Les questions de l'exercice nous ont permis de montrer que :
L'équation f(x)=x admet une solution alpha égale à ln(e-1)
que pour tout x appartient à l'intervalle (0,1) ((f'(x))) <= (e-1)/(e+1)
Que un est bornée et que pour tout n , 0<=un<=1
On doit maintenant montrer que ((un-alpha))<= ((e-1)/(e+1))^n

J'ai essayé une récurrence, mais j'ai vite été bloqué. :mur:
Comme u(n) appartient à (0,1) j'ai essayé de calculer f'(un) mais ça ne m'a avancé à rien.
Merci de votre aide

[arnaud32]

tu peux utiliser le fait que

[Mathieu0685]

tu peux utiliser le fait que

J'ai en effet trouvé cette égalité, mais c'est à partir justement de cette égalité que j'étais bloqué dans ma récurrence. J'ai pas trouvé mieux que u+1-alpha<= f(1)-f(0)

[Mathieu0685]

tu peux utiliser le fait que

Et pour les bornes de l'intégrale, ce n'est pas l'inverse?