Physique - débit d'eau d'un réservoir qui se vide

[Karl-Philippe]

Bonjour;)!

Je serais très prochainement un enseignant de mathématique au Québec (ma formation se terminant dans quelques semaines à peine;)!). Or, je travaille présentement à des activités de modélisation pour les élèves du secondaire. J'ai construit un petit réservoir d'eau avec une valve et j'amène les élèves à analyser/modéliser le niveau de l'eau dans le réservoir selon le temps écoulé. Lorsque le réservoir se vide, la valve est ouverte à une position fixe, dans le but d'amener l'élève à croire en une situation d'accroissement constant.

Cependant, je sais que par un principe physique, qui je pense porte sur la pression exercée par l'eau, ou l'air (c'est là que je me perds;)!), l'eau ne se déverse pas à un débit constant. Voici le nuage de point ainsi que le modèle quadratique de régression dans Geogebra pour mieux comprendre ce que je dis :



J'apprécierais beaucoup si quelqu'un de meilleur que moi pouvait m'expliquer les forces en présence qui expliquent ce résultat. Un lien vers un article/texte serait tout aussi bon, j'ai cherché un peu, mais je n'ai pas trouvé dans la toile. Je parle aussi anglais, alors les articles en anglais sont tout aussi bons;)!

Merci d'avance et bonne journée.

Karl

[ampholyte]

Bonjour,

Je ne sais pas si cela pourrait vous aider, mais je pense que vous devriez vous intéresser à la mécanique des fluides. Cela devrait peut-être vous aider dans votre recherche.

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quations_de_Navier-Stokes
http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9canique_des_fluides#Probl.C3.A8mes_classiques_de_la_m.C3.A9canique_des_fluides

[Black Jack]

Voir le principe de Torricelli, par exemple ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_Torricelli

La vitesse d'écoulement (si le trou a une section très petite devant celle du réservoir) ne dépend que de la hauteur d'eau au dessus du trou.

Soit h cette hauteur, on a v² = 2gh

Si S2 est la section du trou d'évacuation, on a : débit volumique = S2 * racinecarrée(2gh)

On peut alors facilement écrire l'équation différentielle donnant h en fonction du temps ...

Du moins c'est facile si la section S1 du réservoir est constante avec h, sinon c'est plus compliqué.

Supposons S1 constante, on a alors :

S2 * racinecarrée(2gh) = -S1 dh/dt

et donc dh/dt = -(S2/S1).racine(2gh)

dh/Vh = -(S2/S1).racine(2g) * dt

2.racine(h) = -(S2/S1).V(2g) * t + K

racine(h) = -(S2/S1).racine(g/2) * t + K'

et si h(o) = Ho, on a :

racine(h) = racine(Ho) - (S2/S1).racine(g/2) * t

h(t) = [racine(Ho) - (S2/S1).racine(g/2) * t]² (depuis t = 0 à t = racine(Ho)/((S2/S1).racine(g/2)))
**********
Si S1 n'est pas constant avec h ou bien si on n'a pas S1 > > S2, alors c'est un peu plus compliqué.

:zen: