Orbite des planètes

[euclide]

Bonjour, l'orbite de la Terre est une ellipse dont le soleil est l'un des foyers (d'après la première loi de Kepler). Je cherche une représentation paramétrique en coordonnées polaires de l'orbite de la Terre dont l'origine est le foyer de l'ellipse où se trouve le Soleil et dont le paramètre est le temps. J'ai déjà trouvé une relation qui me donne la distance Terre-Soleil en fonction de l'anomalie vraie, il me manque juste une formule qui donne l'anomalie vraie en fonction du temps.

Mais là je bloque, je compte sur vous. Merci.

[Dominique Lefebvre]

Bonjour, l'orbite de la Terre est une ellipse dont le soleil est l'un des foyers (d'après la première loi de Kepler). Je cherche une représentation paramétrique en coordonnées polaires de l'orbite de la Terre dont l'origine est le foyer de l'ellipse où se trouve le Soleil et dont le paramètre est le temps. J'ai déjà trouvé une relation qui me donne la distance Terre-Soleil en fonction de l'anomalie vraie, il me manque juste une formule qui donne l'anomalie vraie en fonction du temps.

Mais là je bloque, je compte sur vous. Merci.

Bonjour,

J'appelle M l'anomalie moyenne avec M = n*(t-t0) où n=la vitesse angulaire moyenne du soleil (3,548"/jour) et t0 le temps du passage au périgée.

Alors, en première approximation, v l'anomalie vraie est égale à:
v = M + 2e*sin(M).
avec e = 0,01673 excentricité orbitale.

[euclide]

Merci beaucoup cela me convient. Mais si ce n'est pas trop demander comment obtient-t-on cette relation ? En effet je sais ce que représente l'anomalie moyenne mais je ne vois pas à première vue comment on obtient sa relation avec l'anomalie vraie.

[Dominique Lefebvre]

Merci beaucoup cela me convient. Mais si ce n'est pas trop demander comment obtient-t-on cette relation ? En effet je sais ce que représente l'anomalie moyenne mais je ne vois pas à première vue comment on obtient sa relation avec l'anomalie vraie.

Je vaus essayer de te tracer la démonstration!

Soit AP le grand axe de l'ellipse orbitale (la ligne des apsides...), de longueur 2a et X,Y les coordonnées d'un point quelconque S sur l'orbite.
b est la longueur du petit axe.
Soit u l'angle d'anomalie excentrique et v l'angle d'anomalie vraie.

On a:
X = a*cos(u) = r*cos(v) + a*e
Y = b*sin(u) = r*sin(v) = a*(1-e^2)^1/2*sin(u)

En appliquant la 2eme loi de Képler sur un temps (t-t0) avec D la durée de l'année (notations standards en astro), j'ai :

u - e*sin(u) = (2*pi/D)*(t-t0) = n*(t-t0) = M (1)

Voilà pour le calcul de M.

Pour v:

des formules ci-dessus, je tire:
cos(v) = (cos(u) - e)/(1 - e*cos(u))
sin(v) = (1 - e^2)^1/2*sin(u)/(1 - e*cos(u))

d'où
sin(u-v) = (e*sin(u) -sin(u)*cos(u)*(1-(1 - e^2)^1/2) / (1 - e*cos(u))
en faisant le calcul et en ne conservant que les termes de premier ordre en e, j'ai :
sin(u-v) = e*sin(u)+... = sin(e*sin(u)) + ...

Or (1) dit que u = M + e*sin(u) = M + e*sin(M + e*sin(u))

d'où finalement v = M + 2e*sin(M) + ...

Sauf erreur de ma part!