Gravitation universelle

[samirou]

Bonsoir j ai un exo de gravitation
Mais j'ai réussi à tout faire sauf la question 2) d) où on me demande d'exprimer vs=ah+b et Ts=ch+d
J ai comme résultat Vs= racine carré de (g0×RT²/RT+h) et Ts=2pi (RT+h)/Vs
Avez vous une idée ou une indication

D'après Encyclopedia Universalis (1998) :
(Certains renseignements et données sont nécessaires à la résolution du sujet).

Le premier lanceur Ariane est une fusée à trois étages dont la hauteur totale est de
47,4 m et qui pèse, avec sa charge utile (satellite), 208 tonnes au décollage.
Le premier étage qui fonctionne pendant 145 secondes est équipé de 4 moteurs Viking V
alimentés par du peroxyde d'azote N2O4 (masse de peroxyde emportée : 147,5 tonnes).
L'intensité de la force de poussée totale de ces 4 réacteurs est constante pendant leur fonctionnement: elle vaut F = 2445 kN.
Ce lanceur peut mettre en orbite circulaire basse de 200 km d'altitude un satellite de
4850 kg; il peut également placer sur une orbite géostationnaire un satellite de 965
kg; il peut aussi être utilisé pour placer en orbite héliosynchrone des satellites très
utiles pour des applications météorologiques.

1) L'ascension de la fusée Ariane
Le champ de pesanteur g (g en vecteur) est supposé uniforme : son intensité est g0 = 9,8 m.s –2.
On choisit un axe Oz vertical dirigé vers le haut.
On étudie le mouvement de la fusée dans le référentiel terrestre qu'on suppose galiléen.

a) Représenter clairement, sur un schéma, en les nommant, les deux forces qui agissent sur la fusée Ariane lorsqu'elle s'élève verticalement. On néglige les frottements et la poussée d'Archimède dans l'air.

b) A un instant quelconque, la masse de la fusée est m.
Déterminer en fonction de m et des intensités des 2 forces précédentes la valeur de l’accélération a.

c) On considère d'abord la situation au décollage. La masse de la fusée vaut alors m1. Calculer la valeur numérique de l’accélération a1 à cet instant.
On envisage la situation qui est celle immédiatement avant que tout le peroxyde d'azote ne
soit consommé. La masse de la fusée vaut alors m2. Calculer la valeur numérique de m2 puis celle de l'accélération a2 à cet instant.
Le mouvement d'ascension de la fusée est-il uniformément accéléré ?
d) La vitesse d'éjection Ve (en vecteur) des gaz issus de la combustion du peroxyde d'azote est donnée par la relation : Ve= (;)t/;)m). F (F en vecteur)
où ;)t/;)m est l’inverse de la variation de masse de la fusée par unité de temps et caractérise la consommation des moteurs.
Vérifier l'unité de Ve par analyse dimensionnelle. Calculer la valeur numérique de Ve.
Quel est le signe de ;)t/;)m? En déduire le sens de Ve . Qu'en pensez-vous ?
A l'aide d'une loi connue qu'on énoncera, expliquer pourquoi l'éjection des gaz propulse la fusée vers le haut.

2) Étude du satellite artificiel situé à basse altitude (h = 200 km)

On s'intéresse au mouvement d'un satellite artificiel S, de masse ms, en orbite circulaire (rayon r)
autour de la Terre de masse MT, de rayon RT et de centre O.
On suppose que la Terre est une sphère et qu'elle présente une répartition de masse à symétrie
sphérique et que le satellite peut être assimilé à un point.

a) Préciser les caractéristiques du vecteur accélération a ( a en vecteur) d'un point animé d'un mouvement circulaire uniforme de rayon r et de vitesse v.

b) Enoncer la loi de la gravitation universelle. On appelle G la constante de gravitation universelle.
Faire un schéma sur lequel les vecteurs-forces sont représentés.

c) Le satellite S est à l'altitude h : on a donc r = R + h.
On appelle Fs (en vecteur) la force qu'exerce la Terre sur le satellite. Cette force dépend de la position du satellite et on pose Fs = ms. g(h) . (Fs et g(h) en vecteur) On note g(h) l'intensité de la pesanteur g(h) (en vecteur) à l'endroit où se trouve le satellite.
Exprimer g(h) en fonction de MT, RT, h et G puis g(h) en fonction de RT, h et g0 = g(0).

d) Appliquer la deuxième loi de NEWTON au satellite en orbite circulaire.
En déduire l'expression de la vitesse vs du satellite en fonction de g0 , RT et h puis celle de sa période de révolution Ts. Montrer que la vitesse et la période du satellite peuvent s’écrire respectivement vs=ah+b et Ts=ch+d où a,b,c et d sont des constantes à déterminer en fonction des données de l’exercice.

e) Application numérique.
Calculer vs et Ts sachant que g0 = 9,8 m.s -2 ; h = 200 km et RT = 6400 km.

[Mathusalem]

Tu as une loi de gravitation universelle. La norme de l'accélération agissant sur le satellite est



Tu sais que le satellite est en orbite circulaire. C'est-à-dire que cette accélération joue le rôle d'accélération centripète, et pour une accélération (centripète) donnée, il n'y a qu'une seule vitesse (au signe près) qui est telle que l'accélération la fasse aller sur un cercle.

La condition sur la vitesse est


Du coup, on a



Par définition,
Donc, au final, on se retrouve bien avec



A part pour un développement de taylor que je ne pense pas que vous ayez vu, j'ai pas trop d'idées sur comment écrire le résultat sous forme de ah + b

[Black Jack]

On te demande presque sûrement une approximation affine. (au programme me semble-t-il)

v(h) = R.rac(go)/rac(R+h)

peut s'approximer (pour h < < R) par :

v(h) = v(0) + h * v'(0)

avec v' la dérivée première de v par rapport à h.
********

v(h) = R.rac(go)/rac(R+h)
v'(h) = ...

v'(0) = ...
v(0) = R.rac(go)/rac(R+0) = rac(go.R)

V(h) = ...

Pareil pour Ts ...

:zen: