équation d'ondes

[Kikoo <3 Bieber]

Salut,


J'ai pu regarder les mécanismes qui amènent à l'équation d'onde sur un fil tendu (une dimension).
C'est , v la vitesse de l'onde, et j'ai pas compris la totalité des outils mathématiques utilisés (dont le théorème de Taylor (DL ?) et les dérivées partielles, même si je comprends qu'elles sont utilisées lorsque la variation de paramètre s'effectue le long d'une seule coordonnée quand on parle de fonction à plusieurs variables).
J'ai néanmoins saisi de manière globale la façon dont on arrive à l'équation.

Désormais, je me demandais comment on en arrive à l'EDP qui caractérise une onde progressive à deux dimensions. Doit-on toujours appliquer le PFD sur une surface infinitésimale ?

Merci d'avance pour toute explication !

[Mathusalem]

Salut,


J'ai pu regarder les mécanismes qui amènent à l'équation d'onde sur un fil tendu (une dimension).
C'est , v la vitesse de l'onde, et j'ai pas compris la totalité des outils mathématiques utilisés (dont le théorème de Taylor (DL ?) et les dérivées partielles, même si je comprends qu'elles sont utilisées lorsque la variation de paramètre s'effectue le long d'une seule coordonnée quand on parle de fonction à plusieurs variables).
J'ai néanmoins saisi de manière globale la façon dont on arrive à l'équation.

Désormais, je me demandais comment on en arrive à l'EDP qui caractérise une onde progressive à deux dimensions. Doit-on toujours appliquer le PFD sur une surface infinitésimale ?

Merci d'avance pour toute explication !

J'ai pas trop compris ta question. En général une fonction d'onde est caractérisée par l'équation de d'Alembert. Ce qu'elle traduit, en termes païens, c'est que plus la courbure spatiale en point est grande (ça c'est le Laplacien, i.e la deuxième dérivée), plus le changement au cours du temps, plus précisément l'accélération (ou le changement du changement temporel..) en ce point sera fort. Tu le vois quand tu tends un fil : tu le pinces au milieu. Plus tu tires dessus, plus tu vas créer une dérivée seconde violente dans son profil, plus elle va évoluer 'violemment' au cours du temps une fois que tu l'as lâchée.

C'est une équation qui décrit le mouvement d'ondes progressives. Elle est linéaire, et tu sais que les solutions sinusoïdales ça marche (cos(wt +/- kx)) donc tu peux ramener toute solution à des combinaisons de ces fonctions.

Quand tu considères le fil en tension, tu travailles avec Newton, et tu vois que l'équation différentielle à laquelle ça te mène, sauf erreur, est une équation de d'Alembert. C'est comme quand tu appliques Newton à un système masse-ressort. Tu tombes sur l'équation différentielle d'un mouvement sinusoïdal. Ici, tu tombes sur l'équation différentielle d'une onde progressive/rétrograde.

[Kikoo <3 Bieber]

Salut et merci !

Connais pas ce théorème de d'Alembert... Mais j'ai compris l'explication ;)
Donc là on ne considère pas la propagation de l'onde ? Est-ce juste une onde stationnaire ? J'ai pas saisi ce point, tu ne parles pas de célérité de l'onde, mais juste de l'accélération locale du fil.

Ok pour le reste.

Ce que je voulais demander, c'est la manière dont on arrive à l'équation diff qui décrit le mouvement d'une onde à deux dimensions, comme une vague sur l'eau par exemple ! :D
Parce qu'il faut toujours poser un modèle au début (par exemple, Newton, comme tu l'as dit), mais ici, je ne vois pas comment débuter le problème pour des ondes qui se propagent dans des milieux à plus d'une dimension spatiale :triste:

[Benjamin]

Donc là on ne considère pas la propagation de l'onde ? Est-ce juste une onde stationnaire ? J'ai pas saisi ce point, tu ne parles pas de célérité de l'onde, mais juste de l'accélération locale du fil.

Salut,

Pour cette partie là, ça dépend des conditions aux limites. Comme tu le sais, pour résoudre une équation différentielle classique à une variable, on a besoin des conditions initiales. Ici, avec les variables d'espace en plus, on parle de conditions aux limites.

Par exemple, si la corde est tenue en x=0, ce n'est pas pareil que si l'extrémité est laissée libre. La nature de ton onde (propagative, stationnaire) sera déterminée par ces conditions aux limites.

A+

[Kikoo <3 Bieber]

Merci Benjamin ! :)
J'attendrai la fin de ma sup pour comprendre mieux.