Volume, pavés droits

[Coquard]

Bonjour,

Voici un exercice qui me pose problème :

Un fabricant de boîtes en carton dispose, pour sa fabrication, de rouleaux donnant une bande de carton de 32 cm de large, dans laquelle il trace et découpe les patrons des boîtes avant de les coller.
Il dispose ses patrons de la manière indiqué dans le dessin ci-dessous, où les dimensions sont indiqués en cm :



Les boîtes, en forme de pavés droits, comportent deux faces carrées de x cm de côté, munies de deux languettes de 1 cm de large pour le collage, et quatre autres faces dont les dimensions, en cm, sont x et y, ainsi qu'un rabat pour la fermeture.
Le fabricant utilise toute la largeur de la bande de carton.

Pour quelle valeur de x, le volume V est-il maximum ?
Quelle est alors la valeur de ce volume ?
Quelle particularité présente la boîte dans ce cas là ?

Auriez-vous une piste ?

[Ben314]

Salut,
a) Utiliser le fait que le constructeur "utilise toute la largeur de la bande" pour en déduire la valeur de y en fonction de x.
b) Déterminer le volume de la boite en fonction de x et de y puis uniquement en fonction de x grâce au a).
c) étudier la fonction v(x) donnant le volume en fonction de x pour en déterminer son maximum, en précisant bien quel est l'intervalle sur lequel on étudie la fonction en question.

[Coquard]

32=y+2x+2
y=-2x+2-32
y=-2x-30

C'est ça ?

[Ben314]

oui...
Continue.

[Coquard]

En fait c'est plutôt :
y+2x+2=32
y+2x=30
y=-2x+30

[Coquard]

Est-ce bien y=-2x+30 ?

Volume V=x*x*y

Comment faire ?

[Ben314]

Est-ce bien y=-2x+30 ?

Oui : j'avais mal lu la première fois : désolé...

b) Déterminer le volume de la boite en fonction de x et de y <= Fait
puis uniquement en fonction de x grâce au a). <= A faire
c) étudier la fonction v(x) donnant le volume en fonction de x pour en déterminer son maximum, en précisant bien quel est l'intervalle sur lequel on étudie la fonction en question.

[Coquard]

y=-2x+30
2x=-y+30
x=-1/2y+15

[Ben314]

Si tu veut, mais tu es clairement en train de "tourner en rond".
Ton problème, vu où tu en est dans l'exercice, c'est que le volume il dépend de x et de y et qu'au niveau où tu en est, tu ne sait pas manipuler des fonctions qui dépendent de deux variables.
Il te faut donc écrire le volume soit uniquement en fonction de x (ce qui signifie qu'il faut écrire le y en fonction de x) OU BIEN l'écrire uniquement en fonction de y (ce qui signifie qu'il faut écrire le x en fonction de y).
Enfin, bref, il faut que tu te décide pour savoir quelle est la variable que tu veut garder. Dans mon premier post, je t'avais plutôt incité à garder le x, mais ça n'a pas vraiment d'importance, sauf que les calculs seront éventuellement légèrement plus compliqués dans un des deux cas.

Bilan : tu exprime x en fonction de y OU BIEN y en fonction de x, mais, dans un tel exo, je vois pas bien l'intérêt de faire les deux.

Et comme j'ai l'impression "qu'on est pas rendu", je vais être encore plus explicite. Partant (uniquement) de :
1) y=-2x+30
2) V=x²y
Est ce que tu peut écrire V="fonction que de x" ?

[Coquard]

Pas vraiment...

[Ben314]

Essaye de réfléchir un peu : j'ai VRAIMENT pas envie de te donner la réponse qui est on ne peut plus "bébète"...

Tu n'a besoin QUE de 1) et 2), rien d'autre, en particulier aucun calculs supplémentaires...

[Coquard]

Toujours pas...
Désolé, je dois vraiment avoir l'air à ch*er mais je me rappel absolument pas avoir déjà vu quelque chose qui ressemble à ça.

Un indice ?

[Ben314]

Ben... je vois vraiment pas quoi donner comme indice à part la solution....
Si y=-2x+30
et V=x²y
Alors V=x²(-2x+30)...

[Coquard]

*Faceplant*

Désolé...

[Coquard]

Je trouve que le Volume est maximal pour x=10 : 1000 (cm^3 ?)

Peux-tu me le confirmer ?

[Ben314]

Oui, c'est bien ça.
Attention a bien préciser, lors de ton étude de fonction que, pour que cela ait un sens concret, il faut que x>=0 et y>=0, c'est à dire 0<=x<=15 vu que y=-2x+30.

[Coquard]

De plus, dans ce cas, la boîte est un cube : 32=2+2*10=22-->y=10 donc, x=10 et y=10

[Ben314]

Effectivement.
Après, sur le même thème, on peut se poser la question de savoir quelle est la découpe la plus "rentable" possible du carton, c'est à dire, étant donné un rouleau de carton de très grande longueur donnée, comment doit on le découper pour que la somme des volumes des boites obtenues soit le plus grande possible (en considérant éventuellement comme "négligeable" le petit bout de carton inutilisable à la fin du rouleau de façon à simplifier le problème).

Ca m'aurait semblé un peu plus "logique" comme question, sauf que :
- Les calculs sont un peu plus compliqués, en particulier la "mise en équation" du problème est moins évidente (et ensuite la fonction a étudier est aussi plus complexe...)
- Il faut connaitre la longueur de la "languette" qui suit les 4 rectangles sur le patron. Sur le dessin, elle semble plus grande que les autres "languettes" de 1cm, donc ou pourrait dire par exemple qu'elle fait 2cm (voir cm si on a pas peur des paramètres...)

Si tu (ou d'autres...) veut (veulent) essayer...