Volume en fonction de la hauteur d'un cylindre couché

[moutonjr]

Voilà vous allez peut-être me trouver tordu pour un terminale S, mais je voudrais graduer une règle our mesurer le volume d'un liquide à l'intérieur d'un cylindre.
Avant d'apprendre les intégrales j'avais trouvé la réponse mais celle-ci était très lourde, géométriquement résolvable mais avec un long résultats avec des sine qua non contraignants.
Mais maintenant avec l'intégrale...
avec en USI : R le rayon du cylindre
h la hauteur du liquide
L la longueur du cylindre
V le volume total
[CENTER][/CENTER]

Comment résoudre une telle intégrale? et aussi comment écrire des équations dans ce forum???
merci d'avance!

[Dominique Lefebvre]

Voilà vous allez peut-être me trouver tordu pour un terminale S, mais je voudrais graduer une règle our mesurer le volume d'un liquide à l'intérieur d'un cylindre.
Avant d'apprendre les intégrales j'avais trouvé la réponse mais celle-ci était très lourde, géométriquement résolvable mais avec un long résultats avec des sine qua non contraignants.
Mais maintenant avec l'intégrale...
avec en USI : R le rayon du cylindre
h la hauteur du liquide
L la longueur du cylindre
V le volume total
[center]V = L sqrt(R²-x²)dx[/center]
[;)de h à R]
Comment résoudre une telle intégrale? et aussi comment écrire des équations dans ce forum???
merci d'avance!

Bonsoir,
Pour écrire des équations en termes compréhensibles, tu vas devoir te pencher sur l'usage de LaTex. Voir dans le forum "A propos de ce site" pour les références.

Puisque tu es nouveau, je t'encourage également à aller lire le règlement et la politique du forum.

Dominique, pour la modération.

[moutonjr]

Chaud pour comprendre le LaTeX, mais mon équation est pas encore trop compliquée et j'aimerais juste trouver la primitive de sqrt(R²-x²)...

Je suis passé faire un tour dans les règles déjà quand je me suis inscrit...

[moutonjr]

pour ce qui est d'usage du dans ce forum, c'est un peu laxiste... Et personne ne viendra voir un topic aussi tordu maintenant qu'il y a un message...

[rene38]

Bonjour

personne ne viendra voir un topic aussi tordu

Mais si, la preuve : [url="http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/ts/volume_integrale.html"]http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/ts/volume_integrale.html[/url]

[moutonjr]

(pour les figures géoplan me demander.) :id: :id:
Deux méthodes pour réussir à calculer le volume de ce cylindre :

où la surface en bleu est la surface du liquide de notre cylindre...

On sait déjà que ce volume est un prisme ayant un ménisque pour base.
Si on a en USI des valeurs connues : R le rayon,
L la longueur du cylindre
H la hauteur de liquide dans le cylindre depuis le fond de celui-ci

on a donc :
la difficulté résidant dans ... :--:

Détermination de :
1_ Avant la Terminale S : Géométrie
a : Quand le niveau est en dessous du milieu du cylindre
C'est la méthode la plus longue. On considère le cercle qui est en fait la coupure du cylindre par un plan vertical :

On cherche à retrouver l'aire du ménisque formé par l'arc et le segment
Or on retrouve ici un "camembert" d'angle en °.


Retrouvons par la géométrie : si on considère AOM rectangle en M, celui-ci étant le milieu de [AB] :

bon, nous avons donc l'aire du camembert, il faut maintenant soustraire l'aire du triangle (OAB) et le tour est joué!
Bon, sachant que (OAB) = 2(OAM), reste à calculer AM :
voilà! on réinjecte tout et ça donne une horrible formule énorme :

Je n'ai pas encore fini de tout réinjecter... reste AM et :

en simplifiant et en remplaçant une bonne fois pour toutes :

OUFF, vive le copier/coller...

Quelqu'un est-il d'accord avec cette proposition? :help:

b) Quand le niveau se trouve au-dessus de la moitié du cylindre
C'est en fait le même processus à l'envers cette fois, je ne vais donc pas vous faire l'affront de recommencer : :++:


c) Quand le niveau est exactement à la moitié
Eh, oh, ça va là on se paie pas de ma tête?

c'est ça marrez-vous... :ptdr:

1_ Terminale S : Intégration
Tout de suite ça devient plus simple... :we:
On va faire roter le cercle pour que ce soit plus lisible, et pour pouvoir faire des fonctions dans un repère orthonormé.
Soit le cercle trigo d'équation ou plutôt
Notre cercle à nous est juste un agrandissement de celui-ci de facteur R. l'aire est donc multipliée par R²(à vos crayons...)
Ainsi on va trouver l'équivalent réduit de notre aire de ménisque sur le cercle trigo . Débarrassons-nous tout de suite du "plus ou moins" parce qu'en fait on trouve une symétrie d'axe (Ox) :

Remis à l'échelle cu cercle trigo :
D'accord? ce ne sont que agrandissement/réductions.
Résolvons l'intégrale en remplaçant x par sin x (changement de variable)

Ainsi on termine :




Bon sur ce, je pense que j'ai assez bossé pour aujourd'hui, sachant qu'au départ ce n'était que pour graduer un balai qui mesure la jauge de fioul dans un réservoir... pfff...
Commentaires svp il doit forcément y a voir un problème...

[chan79]

OH=R cos â
AB= 2R sin â
aire du triangle AOB: R² sinâ cos â
aire du secteur OAB: âR²
d'autre part cos â = (R-h)/R
Volume du liquide si h<R
V = L* (R²*(â - sin â cos â)) avec â=arccos((R-h)/R)
Ensuite avec un tableur, c'est facile de faire la règle graduée
Il serait intéressant de faire la même chose avec une barrique dont la forme diffère mais un vigneron ferait sans doute autrement

[moutonjr]

Je pense qu'il n'aurait pas le temps de la graduer qu'il l'aurait vidée! :ptdr:

[moutonjr]

je me sens idiot... avoir pondu un résultat aussi compliqué pour quelque chose d'aussi simple... bien joué Chan79...