Vecteur dans l'espace

[LéaM1213]

Bonjour, j'ai un peu de mal avec un exercice, peut-on m'aider.


Soit A (2;4;5)un point de l'espace et deux vecteurs u(1;2;3) et v (1;1;1)

1) démontrer que u et v ne sont pas colinéaires

Pour cette question voila comment j'ai procédé:
ux/vx = uy/vy = uz/vz =k
1/1 différent de 2/1 différent de 3/1 Donc u et v ne sont pas colinéaires

2)On nomme P le plan passant par le point A et dont la direction est engendrée par la base (u,v).
Soit M (x;y;z) un point quelconque de l'espace.
Justifier que M appartient au plan P ssi il existe deux réél t et t' tel que
x=2+t+t'
y=4+2t+t'
z=5+3t+t'

Je ne sais pas comment faire pour cette question, peut-on m'aider.

[mathelot]

bonjour,
un plan affine P est un ensemble de points. Le plan vectoriel est l'ensemble des vecteurs
dans la direction de P.

On a

Soit M un point de l'espace; on a l'équivalence




après on traduit cette propriété en termes de coordonnées

[LéaM1213]

Merci, mais je ne sais pas trop comment mettre ceci à l'écrit
Est ce que j'écris comme ça:

x=2+1+1
y=4+2+1
z=5+3+1
soit AM=(4;7;9)

[mathelot]

2)On nomme P le plan passant par le point A et dont la direction est engendrée par la base (u,v).
Soit M (x;y;z) un point quelconque de l'espace.
Justifier que M appartient au plan P ssi il existe deux réél t et t' tel que
x=2+t+t'
y=4+2t+t'
z=5+3t+t'

Je ne sais pas comment faire pour cette question, peut-on m'aider.

M appartient au plan P si et seulement si appartient à la direction de P
appartient à la direction de P si et seulement si est combinaison linéaire de et

est combinaison linéaire de et

[LéaM1213]

Donc c'est j'ai réfléchi est ce que c'est:

x=2+t+t'
y=4+2t+t'
z=5+3t+t'
C'est à dire tels que:
x-2=t+t'
y-4=2t+t'
z-5=+3t+t'

AM=(x-2;y-4;z-5)
Donc M appartient à P ssi il existe t et t' tels que AM=tu+t'u
Donc (A;y;v) est bien un repère du plan.

[LéaM1213]

Si non ensuite je dois trouver les coordonnées de B du plan P quand t=2 et t'=-1

Donc est ce que je doit juste remplacer t et t' et calculer, ce qui me donnerais;
x=2+2+(-1)
y=4+2x2+(-1)
z=5+3x2+(1)
donc B(3;7;10)

est ce bien ça ?

[mathelot]

oui