Variation de fonctions (chap 2 dérivation et application)

[Jkookarmy]

Bonjour, je coince sur l’exercice suivant, nous n’avons encore jamais vu en classe ce chapitre.

Soit la fonction f définie sur l’intervalle [-6;5] par f(x)= 2x^3 + 3x^2 -12x + 4

1- Déterminer une équation de la tangente T à la courbe de f au point d’abscisse 2.
((( pour ma part j’ai trouvé : f’(x) = 6x^2 + 6x -12 et une équation égale à y= 24x-40 )))
2- On définit sur [-6;5] la fonction g par g(x)= f(x)-24x+40
a- étudier les variations de la fonction g sur son ensemble de définition et dresser son tableau de variation.
((( Dois-je trouver g(x) = 2x^3 + 3x^2 -36x + 44 ? Pour faire le tableau est ce que je dois regarder les valeurs graphiquement sur ma calculatrice ou est ce que je dois appliquer la méthode pour faire descendre la fonction au carré puis calculer les racines ? )))
b- calculer g(-5,5)
c- déduire des deux questions précédentes le signe de g sur son ensemble de définition
3- déterminée la position de la courbe représentative de f par rapport à T
4- donner un encadrement de g(x) sur l’intervalle [0;5]

[Jkookarmy]

Je pense avoir compris les deux premières questions, pour la 2.c je ne sais pas du tout alors j’ai mis : sur [-6;-5,5] un - et après sur [-5,5;2] et [2;5] un +.
Je ne comprends pas ce qui est demandé à la question 3, je vois juste à la calculatrice que la fin de la courbe f semble avoir le même coefficient directeur que T mais comment le démontrer ?!
Et aussi qu’entendent-ils par encadrement dans la 4 dois-je dire que c’est positif ?

[titine]

Bonjour, je coince sur l’exercice suivant, nous n’avons encore jamais vu en classe ce chapitre.

Soit la fonction f définie sur l’intervalle [-6;5] par f(x)= 2x^3 + 3x^2 -12x + 4

1- Déterminer une équation de la tangente T à la courbe de f au point d’abscisse 2.
((( pour ma part j’ai trouvé : f’(x) = 6x^2 + 6x -12 et une équation égale à y= 24x-40 )))
2- On définit sur [-6;5] la fonction g par g(x)= f(x)-24x+40
a- étudier les variations de la fonction g sur son ensemble de définition et dresser son tableau de variation.
((( Dois-je trouver g(x) = 2x^3 + 3x^2 -36x + 44 ? Pour faire le tableau est ce que je dois regarder les valeurs graphiquement sur ma calculatrice ou est ce que je dois appliquer la méthode pour faire descendre la fonction au carré puis calculer les racines ? )))

Équation de la tangente juste.
g(x) est bien égal à 2x^3 + 3x^2 -36x + 44
Pour étudier les variations de g il faut chercher sa dérivée g' , puis étudier le signe de g'(x).
Lorsque g'(x) est positif sur un intervalle, g est croissante sur cet intervalle.
Lorsque g'(x) est négatif sur un intervalle, g est décroissante sur cet intervalle.

[titine]

Tu dois trouver g croissante sur [-6;-3] , décroissante sur [-3;2] , croissante sur [2;5]
Et g(-3) = 125 et g(2) = 0
Et g (-5,5) = 0
Est ce bien cela ?

Donc effectivement g est négative sur [-6;-5,5] et positive sur [-5,5;5]

 g(x)= f(x)-24x+40
Donc lorsque g(x) > 0 alors f(x)-24x+40 > 0 donc   f(x) > 24x-40 et par conséquent la courbe de f est au dessus de T
Lorsque g(x) < 0 .......
Tu comprends ?

Pour la dernière question :
Sur l'intervalle [0 ;5] g est décroissante sur [0 ;2] puis croissante sur [2;5]
D'accord ?
Quel est le minimum de g sur [0;5] ? Quel est son maximum ?
Donc sur [0;5] g(x) est compris entre ... et ....

[Jkookarmy]

J’ai bien trouvé ces résultats pour la variation, mais j ai ajouté aussi g(-6)= -64 et g(5)=189, est ce que je dois les enlever ?

Et pour le tableau de signe de g, j’ai mis qu’au niveau de 2 c’est égal à 0 du coup j’ai deux fois le + dans le tableau est-de faux ?

Et je crois avoir saisi ce que cela signifie... mais je sais pas si j aurais trouvé

Oulah par contre je comprends pas trop ton explication pour la dernière question, j’ai mis que g>=0 sur [0;5] car j avais vu ça sur ma calculatrice, pourquoi g(x) serait-elle comprise entre son maximum et minimum ?

[mathou13]

Bonjour,

2) a)
g'(x)=6x^2+6x-36=6(x^2+x-6)=6(x+3)(x-2)
delta=1+24=5^2
x1=(-1-5)/2=-3
x2=2
x_______/-6_______________-3______________________________2_________________5
g'(x)___/______....__________0____-________________________0___________......_____
Cg______/____croit_extremum(125) local_......._extremum(......) local__croit
b)
g(-5,5)=2(-5,5)^3 + 3(-5,5)^2 -36(-5,5) + 44=....
c)
g(-3)=... g(2)=... donc g...0 sur [-6;5]
3-
g(x)...0donc Cf au dess.... de T

[titine]

J’ai bien trouvé ces résultats pour la variation, mais j ai ajouté aussi g(-6)= -64 et g(5)=189, est ce que je dois les enlever ?
Non, tu as raison.
Et pour le tableau de signe de g, j’ai mis qu’au niveau de 2 c’est égal à 0 du coup j’ai deux fois le + dans le tableau est-de faux ?
C'est exact.
Et je crois avoir saisi ce que cela signifie... mais je sais pas si j aurais trouvé

Oulah par contre je comprends pas trop ton explication pour la dernière question, j’ai mis que g>=0 sur [0;5] car j avais vu ça sur ma calculatrice, pourquoi g(x) serait-elle comprise entre son maximum et minimum ?

Regarde le tableau de variation de g.
Sur [0;2] g décroît de 44 à 0. D'accord ? Donc si x apparteint à [0;2] alors g(x) appartient à [0;44]. Tu es d'accord ? Si x est compris entre 0 et 2, on est sûr que g(x) ne sera pas égal à 60 ou à -10, ça sera forcément un nombre compris entre 0 et 44. Tu me suis ?
Sur [2;5] g croît de 0 à 189. D'accord ? Donc si x apparteint à [2;5] alors g(x) appartient à [0;189]. D'accord ?
Donc, finalement, si x appartient à [0;5] on est sûr que g(x) est un nombre compris entre .... et ....