Valeur exacte cos(pi/12) et sin(pi/12)

par **jadou0712** » 28 Fév 2015, 22:21

Bonsoir, merci de m'aider au plus vite pour cette exercice je suis vraiment bloquée.

Voici l'énoncé:

La valeur exacte de sin pi/12 est (racine6-racine2)/4

1) Démontrer que la valeur exacte de cos pi/12 est (racine6+racine2)/4

J'ai utilisé la formule cos²(x)+sin²(x)=1, je vous donne mon développement jusqu'au point ou je bloque :

r=racine

cos²(pi/12)= 1-((r6-r2)/4)²
= 1-(r6²-2xr6xr2+r2²)/4²
= 1-(6-2xr6xr2+2)/16
= (16-6+2xr6xr2-2)/16
= (8²+2²xr6²xr2²)/16²
= (32+48)/256
cos(pi/12) = (r32+r48)/r256
= (r(16x2)+r(16x3))/4x4
= (4r2+4r3)/4x4
=(R2+r3)/4

je ne tombe pas sur racine de 6 mais racine de 3... Ou est ma faute s'il vous plait ?

2) En déduire la valeur exacte de sin5pi/12, sin7pi/12 et cos11pi/12

Là je n'ai aucune idéee

Merci pour vos reponses

par **Robic** » 28 Fév 2015, 22:32

Bonsoir !

1) Il y a une erreur ici :

= (16-6+2xr6xr2-2)/16
= (8²+2²xr6²xr2²)/16²

Pour moi ça fait :
= (8+2xr6xr2)/16.

Attention : a/b n'est pas égal à a²/b² ! De plus (8+2xr6xr2)² ne fait pas (8²+2²xr6²xr2²).
Bref, n'invente pas des règles de calcul... :zen:

Autre erreur à ne plus jamais refaire : tu obtiens pour le carré (32+48), et quand tu prends sa racine carrée tu dis que ça fait (r32+r48) : c'est faux !

À la fin je trouve

qui semble différent du nombre donné par l'énoncé, mais en fait ils sont égaux, ça se vérifie à la calculatrice et ça se démontre par un petit calcul.

Mais en fait il y a un moyen bien plus simple de répondre à la question. On demande de démontrer que le cosinus est celui annoncé, donc calcule sin²+cos² avec la valeur de l'énoncé : si ça donne 1, c'est bon. Donc il faut commencer par écrire :

et de faire le calcul jusqu'à obtenir 1.

2) Il suffit de remarquer que sin5pi/12 = sin(-pi/12 + 6pi/12) = sin(-pi/12 + pi/2) et d'appliquer les relations qui lient sin(-x) à sin(x) et sin(x) à sin(x+pi/2). De même pour les autres.

par **jadou0712** » 28 Fév 2015, 22:41

1) Oui je suis d'accord que
=(8+2xr6xr2)/16

mais javais mis chacun des membre au carré pour ne plus avoir de racine mais c'est vrai que javais mal fais je devais utiliser l'identité remarquable ^^

donc
=(8+2xr6xr2)²/16

mais je pensais que quand on faisait quelque chose au numérateur on devait le faire au dénominateur... donc je met pas le 16 au carré ?

2) Merci j'ai compris, c'est tout simple en fait c'est le cours :)

par **mathelot** » 28 Fév 2015, 22:41

puis

par **jadou0712** » 28 Fév 2015, 22:44

Je viens de voir votre rajout

Je pense que ma manière de calculer est trop difficile je vais essayer de faire comme vous dites avec l'égalité et tomber sur 1 je vous tiens au courant merci :)

par **Robic** » 28 Fév 2015, 22:46

mais je pensais que quand on faisait quelque chose au numérateur on devait le faire au dénominateur...

Ce n'est pas ça la règle ! La règle, c'est : « quand tu multiplies par quelque chose au numérateur, tu dois multiplier par la même chose au dénominateur ». Mais si tu remplaces le verbe multiplier par additionner, soustraire, mettre au carré, mettre à une puissance, mettre au cosinus, etc. c'est faux !

(J'ai complété mon message pour t'aiguiller vers la méthode plus simple, probablement celle qui est attendue dans cet exercice sinon les calculs sont pénibles.)

(OK, j'ai vu ton rajout où tu dis que tu as vu le mien... :zen: )

----------
Mathelot : j'ai vu cet exercice aujourd'hui (coïncidence !) dans un manuel Nathan de 1ère S. Eh bien j'ai découvert à ma grande surprise qu'on n'y enseigne plus les formules de cos(a+b) et sin(a+b) ! Je ne sais pas si Jadou est en 1ère S et utilise ce manuel (après tout, les exercices doivent se retrouver sur plusieurs livres), mais je soupçonne qu'on doive résoudre la question 2 sans utiliser ces formules (d'autant que c'est possible).

Quand à la tangente... elle a disparu du lycée !

(Comme je le dis parfois, ce qui est difficile dans les exercices de lycée, ce n'est pas de les résoudre, c'est de les résoudre en utilisant uniquement les connaissances du lycée...)

par **jadou0712** » 28 Fév 2015, 22:52

Oui merci, il faut que je revois les regles de calculs alors car j'avais pas tout compris javais oublier ! ^^

Et c'est bon je tombe sur 1 je suis contente !!! Merci beaucoup :D je vais faire le 2 maintenant

par **jadou0712** » 28 Fév 2015, 22:55

Oui effectivement on utilise plus du tout cette formule, je ne l'ai jamais vu et elle n'est ni dans mon cours ni dans mon livre

Et pour la tangente on utilise seulement l'équation

par **Robic** » 28 Fév 2015, 22:58

(J'employais le mot « tangente » dans un autre sens, celui de la formule donnée par Mathelot à la fin de son message. C'est une fonction trigo comme le cosinus et le sinus, mais qui n'est plus au programme.)

par **jadou0712** » 28 Fév 2015, 23:00

Pour la question 2 je ne comprends paq tellement qu'est qu'on peut faire apres sin(-pi/12 + pi/2) car ca fait sin(0) donc pi ?

par **mathelot** » 28 Fév 2015, 23:04

elles sont au programme de Term sous la forme

=partie imaginaire,

=partie réelle

par **jadou0712** » 28 Fév 2015, 23:12

C'est bon Robic, j'ai trouvé au final faut remplacer par les formules trouvées precedemment et de les mettre en fonction de sin(-x)...

En tout cas merci tu m'as bien avancer en 30 minutes alors que ca fait 3h que je suis dessus !

Bonne nuit ;)

par **Robic** » 28 Fév 2015, 23:12

Mathelot : oui mais là je crois que c'est un exercice de première (à confirmer).

De rien Jadou ! (3h sur un exercice, c'est un peu trop...)

par **zygomatique** » 01 Mar 2015, 10:57

salut

effectivement connaissant le sinus on en déduit le cosinus grâce au théorème de Pythagore ...

maintenant un peu de réflexion (donc des math) permet de remarquer que

ce qui permet de calculer son carré plus aisément ....

les autres valeurs s'obtiennent effectivement avec les formules cos(+-pi +- x) et sin(+-pi/2 +- x)

qui sont les rares qui restent au programme avec les formules de l'angle double .... et de l'opposé ....

Valeur exacte cos(pi/12) et sin(pi/12)

Valeur exacte cos(pi/12) et sin(pi/12)

Qui est en ligne