Une équation différentielle avec second membre

[Rebelle_]

Bonjour bonjour ! =)

J'ai un petit exercice tout mignon à vous montrer, j'espère que je ne me suis pas trop trompée cette fois-ci =P

i) On appelle (E) l'équation différentielle
On demande d'en déterminer toutes les solutions.

C'est plutôt facile, les solutions sont les fonctions de la forme , ,

ii) On pose maintenant (F) telle que
On demande de déterminer une fonction polynôme du second degré solution de (F).

Soif , et différent de 0 une fonction polynômiale définie et dérivable sur telle que

On en déduit que :



Donc, par identification on a , et soit {calculs, calculs, calculs} a = 1/3, b = -4/9, c = 17/27.
Il vient est une solution de (F).

iii) On veut ensuite montrer que est solution de (E) si et seulement si est solution de (F).

On pose solution de (E), alors :



On a finalement car est solution de (F). On en conclut donc que est solution de (E) si et seulement si est solution de (F).

iv) On donnera toutes les solutions de (F).

On a solution de (F) équivaut à solution de (E) si et seulement si c'est-à-dire ie. , ,

Voilà tout Qu'en pensez-vous ? ^^'

Je vous souhaite une bonne après-midi !

Merci =)

[Nightmare]

Salut !

iii) "montrer que g est solution de (E) si et ssi (g-f) est solution de (F)"

pourquoi ta phrase suivante est-elle "on pose (g-f) solution de (E)" ?

[Rebelle_]

Hello :)

Eh bien je veux montrer que (g-f) est solution de (E) si et seulement si... Est-ce le "on pose" qui est faux ? Peut-être parce que c'est ce que je chercher à montrer :/

[Nightmare]

Ben non, tu veux montrer que (g-f) est solution de (F) si et ssi ...

[Rebelle_]

Oh !! Tout à fait oui je suis désolée j'ai mal recopié ! C'est bien (F) ! C'est bon sur mon cahier :$

[Nightmare]

Je me disais aussi :lol3:

En tout cas c'est correct. Le résultat à retenir est que les solutions d'une équadiff linéaire sont toujours la somme d'une solution particulière et des solutions de l'équation homogène.

[Rebelle_]

Ah oui ! Notre prof nous a donné quelque chose comme "la solution générale de (E) est la somme d'une solution particulière de (E) et de la solution générale de (E_0)".
Donc en fait pour résoudre (E), ici (F), il faut déterminer une solution de (E_0), ici (E) : c'est la solution particulière.

[Nightmare]

C'est ça, et ensuite l'ajouter aux solutions de l'équation homogène (second membre = 0). C'est bien ce que tu as montré dans la question iii)

En fait ce n'est pas seulement vrai pour les équations différentielles linéaires, mais pour n'importe quelle équation "linéaire".

[Rebelle_]

La prof nous a aussi dit qu'il y avait plusieurs méthodes pour résoudre (E) mais que nous les verrions plus tard.
Et il semble aussi qu'il y ait une méthode générale beaucoup plus simple pour résoudre l'équation homogène associée à (E) ^^'

[Nightmare]

Bon, faut qu'on fixe le nom des deux équations une fois pour toute parce que tu m'embrouilles lol :

une méthode générale beaucoup plus simple pour résoudre l'équation homogène associée à (E)

(E) c'est déjà une équation homogène ! (associée à (F)).

Quoi qu'il en soit, en fait il y a une méthode très rapide pour les équations linéaires du premier ordre, qui consiste à chercher un "facteur intégrant" sous la forme pour une certaine fonction u à déterminer.

Par exemple, pour ton équation, on écrirait ceci :

On multiplie les deux membres de l'équation (F) par un certain exp(u) où u sera une fonction à déterminer plus tard :



Une fois ceci écrit, la méthode consiste à chercher u de sorte que le membre de gauche soit une dérivée.

On sait que la dérivée de (fg)'=f'g+gf'. En fait, il suffit de chercher u de sorte que (puisqu'alors, on aura !)

Ce qui revient à chercher u tel que soit et donc quelle que soit la constante K.

alors l'équation devient et donc (à calculer) puis