Trigonométrie

[lrnt00]

Bonsoir à tous! Une petite question, je voudrai qu'on m'explique un peu la propriété:
Cos(x+2pi)=cos(x)
Sin(x+2pi)=sin(x)
J'ai vu aussi sur un site qu'on a la propriété :
y= x+k2pi
Alors là je suis perdu..en plus je ne comprend pas ce qu'est le k..
Merci à vous..

[capitaine nuggets]

Salut !

Vite fait :

On se place dans un repère orthonormal .
Soit le cercle de centre et de rayon et un point de tel que . Alors par définition, représente l'abscisse du point et l'ordonnée du point . Maintenant, si on rajoute à , cela fait déplacer le point jusqu'à revenir à sa position initiale (ajouter revient à faire tourner le point le long de suivant un angle de ). Moralité, ajouter un multiple entier de à un angle ne change pas la valeur du cosinus.

[lrnt00]

Salut !

Vite fait :

On se place dans un repère orthonormal .
Soit le cercle de centre et de rayon et un point de C tel que . Alors par définition, \TEX]\cos(x)[/TEX] représente l'abscisse du point et l'ordonnée du point . Maintenant, si on rajoute à , cela fait déplacer le point jusqu'à revenir à sa position initiale (ajouter revient à faire tourner le point le long de d'un angle de ). Moralité, ajouter un multiple entier de à un angle ne change pas la valeur du cosinus.

D'accord c'est un peu plus clair, mais cette propriété est utilisée quand..?

[mathelot]

il y a une fonction d'enroulement de la droite réelle sur le cercle unité.
Un point M(x), situé sur le cercle, d'abscisse curviligne x a pour coordonnées cartésiennes cos(x) et sin(x).
Comme le périmètre a pour longueur ,
et

Pour faire le lien avec les angles, l' angle au centre est mesuré
par les longueurs algébriques (=signées) des arcs de cercle
que l'angle intercepte.

[capitaine nuggets]

D'accord c'est un peu plus clair, mais cette propriété est utilisée quand..?

Ben par exemple, pour étudier les variations de la fonction : le fait qu'elle soit -périodique nous dit qu'en fait, dès qu'on connaît ses variations sur un intervalle de longueur , on connaît ses variations sur tout (en translatant cette portion de courbe).
Ou encore, quand tu veux résoudre l'équation . Si tu résous cette équation dans par exemple, il y a deux solutions : et . Mais si tu la résous dans , alors l'ensemble des solution est constituée de tous les réels de la forme ou .

Remarque : de cette périodicité on déduit que quel que soit l'entier et le réel , (ça peut se montrer par récurrence).

Enfin, on peut s'en servir pour calculer des cosinus d'angle plus compliqué :
.


:+++:

[lrnt00]

il y a une fonction d'enroulement de la droite réelle sur le cercle unité.
M(x) d'abscisse curviligne x a pour coordonnées cartésiennes cos(x) et sin(x)
Comme le périmètre a pour longueur ,
et

Pour faire le lien avec les angles, l' angle au centre est mesuré
par les longueurs algébriques (signées) des arcs de cercle
que l'angle intercepte.

D'accord.. vous penserez que j'y arriverai dans mes exercices sans savoir ce que signifie cette propriété..? :hein:

[lrnt00]

Ben par exemple, pour étudier les variations de la fonction : le fait qu'elle soit -périodique nous dit qu'en fait, dès qu'on connaît ses variations sur un intervalle de longueur , on connaît ses variations sur tout (en translatant cette portion de courbe).
Ou encore, quand tu veux résoudre l'équation . Si tu résous cette équation dans par exemple, il y a deux solutions : et . Mais si tu la résous dans , alors l'ensemble des solution est constituée de tous les réels de la forme ou .

Remarque : de cette périodicité on déduit que quel que soit l'entier et le réel , (ça peut se montrer par récurrence).

Enfin, on peut s'en servir pour calculer des cosinus d'angle plus compliqué :
.


:+++:

Ahlala.. c'est fou je me casse pas la tête mais ça passe pas.., je vois pas ce que peut être le "k" & aussi le dernier calcul je comprend pas comment vous avez trouvé (-1).. :mur:

[mathelot]

D'accord.. vous penserez que j'y arriverai dans mes exercices sans savoir ce que signifie cette propriété..? :hein:

tu peux regarder ici

"ANALYSE: formules de trigo, paragraphe 1 et 2"

[capitaine nuggets]

Le représente un entier relatif quelconque, ça peut être , etc...

Pour tout réel et tout entier relatif , on a . Cela vient du fait que :

[CENTER][/CENTER]

et de même en remplaçant par dans l'égalité , on a :

[CENTER][/CENTER]

:+++:

[lrnt00]

tu peux regarder ici

"ANALYSE: formules de trigo, paragraphe 1 et 2"

On a pas vu ça en 2nde..

[lrnt00]

Le représente un entier relatif quelconque, ça peut être , etc...

Pour tout réel et tout entier relatif , on a . Cela vient du fait que :

[CENTER][/CENTER]

et de même en remplaçant par dans l'égalité , on a :

[CENTER][/CENTER]

:+++:

D'accord pour le k mais après le calcul RIEN compris, pourtant en math je suis assez bon, après peut être ce que tu fais est d'un autre niveau? Sachant que la trigonométrie dont je parle est du niveau 2nde..

[capitaine nuggets]

Si tu passes en 1re ne t'inquiète pas : tout cela sera refait entièrement :++:

[lrnt00]

Si tu passes en 1re ne t'inquiète pas : tout cela sera refait entièrement :++:

Je passe en 1èreS c'est pour ça que je revois ça..
Bon bah je m'attarde pas sur ça alors :lol3:

[mathelot]

On a pas vu ça en 2nde..

qu'avez vous vu de la trigonométrie ?

[lrnt00]

qu'avez vous vu de la trigonométrie ?

Le cercle trigonométrique
Cosinus et sinus d'un angle
C'est tout après je sais pas si le programme a été terminer..

[mathelot]

Le cercle trigonométrique
Cosinus et sinus d'un angle
C'est tout après je sais pas si le programme a été terminé..

i) les angles étaient mesurés en radians ou en degrés ?
par exemple ?
ii) avez vous vu l'enroulement trigonométrique ?

[lrnt00]

i) les angles étaient mesurés en radians ou en degrés ?
ii) avez vous vu l'enroulement trigonométrique ?

En radian et en degrès et non pas d'enroulement..

[mathelot]

En radian et en degrès et non pas d'enroulement..

à ce niveau ci, deux choses sont à savoir:

i) le périmètre du cercle est donné par
soit radians.
ii) un angle s'identifie avec sa mesure, qui est la longueur d'arc qu'il intercepte

Par exemple est la longueur d'arc de cercle
mesurant l'angle qui vaut le tiers de l'angle plein (360°), soit 120°

le fait que vous n'ayez pas traité l'enroulement empêche de comprendre
la -périodicité des fonctions sinus et cosinus.

[lrnt00]

à ce niveau ci, deux choses sont à savoir:

i) le périmètre du cercle est donné par
soit radians.
ii) un angle s'identifie avec sa mesure, qui est la longueur d'arc qu'il intercepte

Par exemple est la longueur d'arc de cercle
mesurant l'angle qui vaut le tiers de l'angle plein (360°), soit 120°

le fait que vous n'ayez pas traité l'enroulement empêche de comprendre
la -périodicité des fonctions sinus et cosinus.

Oui je sais tout ça, ah d'accord & pour la propriété: cos(x+2pi)..?

[mathelot]

Oui je sais tout ça, ah d'accord & pour la propriété: cos(x+2pi)..?

Le point générique du cercle a pour coordonnées cartésiennes (=habituelles)
(cos(x),sin(x)) et pour abscisse curviligne x.

Supposons que l'on augmente x de , on est donc "plus loin".
Comme dans l'enroulement, le point générique tourne,
sur une courbe circulaire (le cercle), en on est rendu au même endroit qu'en x.
on égalise les coordonnées et