Trigo 1ere besoin d'aide...

[Anonyme]

Bonjour à tous !
j'ai deux problème, je n'arrive pas a obtenir l'égalité
cos(3x)=4cos^3(x)-3cos(x) et je n'arrive pas a déduire les solutions de
4cos^3(x)-3cos(x)=0,5
Ca m'embete beaucoup car je ne peut pas finir l'exercice...
si quelqu'un peut m'aider je le remercie par avance !!
@+++
Charlotte

[Anonyme]

charlotte a écrit:
> Bonjour à tous !
> j'ai deux problème, je n'arrive pas a obtenir l'égalité
> cos(3x)=4cos^3(x)-3cos(x) et je n'arrive pas a déduire les solutions de
> 4cos^3(x)-3cos(x)=0,5
> Ca m'embete beaucoup car je ne peut pas finir l'exercice...
> si quelqu'un peut m'aider je le remercie par avance !!
> @+++
> Charlotte
>
>

quelles formules de trigonométrie connais tu ?
tu peux faire ce travail à partir des deux seuls formules :
cos(a+b) = cosa*cosb - sina*sinb et
sin(a+b) = cosa*sinb + cosb*sina

De ces formules tu peux aisément déduire cos(2x) et sin(2x).
Ecris alors cos(3x) = cos(x+2x), puis remplaces, en utilisant peut-être
cos^2(x) + sin^2(x) = 1 pour te débarasser des sinus... c'est bon ?

La réponse à la deuxième question se déduit assez aisément de la première.

N'hésites pas à repasser si tu n'y arryves toujours pas.

--
albert

[Anonyme]

Le Wed, 26 Jan 2005 16:23:26 +0100, charlotte a écrit :

> Bonjour à tous !
> j'ai deux problème, je n'arrive pas a obtenir l'égalité
> cos(3x)=4cos^3(x)-3cos(x) et je n'arrive pas a déduire les solutions de
> 4cos^3(x)-3cos(x)=0,5

1- On ne peut jamais rien obtenir avec rien. Peut-être connais-tu des
formules de trigonométrie? relis les. Il y a des chances pour
qu'elles servent. On peut toujours écrire cos(3x)= cos (2x+x) et
appliquer une formule adéquate, puis appliquer d'autres formules au
résultat etc..

2- Admettons que cos(3x)=4cos^3(x)-3cos(x), ``='' signifie identique.
C'est comme si tu avais un objet que tu peux appeler de deux façons
différentes.
En utilisant cette égalité, et le fait que 0,5 = cos(PI/3),
4cos^3(x)-3cos(x)=0,5 doit pouvoir s'écrire sous une autre forme, plus
favorable à une résolution.

> Ca m'embete beaucoup car je ne peut pas finir l'exercice... si quelqu'un
> peut m'aider je le remercie par avance !! @+++ Charlotte

Moi non plus je ne supporte pas de ne pas savoir résoudre un problème.
Celà m'a fait perdre un temps énorme.
Bon courage !
--
jjr

[Anonyme]

> quelles formules de trigonométrie connais tu ?

je crois que je les ai toutes, mais je ne sais jamais lesquelles utiliser...

> tu peux faire ce travail à partir des deux seuls formules :
> cos(a+b) = cosa*cosb - sina*sinb et
> sin(a+b) = cosa*sinb + cosb*sina
>
> De ces formules tu peux aisément déduire cos(2x) et sin(2x).
> Ecris alors cos(3x) = cos(x+2x), puis remplaces, en utilisant peut-être
> cos^2(x) + sin^2(x) = 1 pour te débarasser des sinus... c'est bon ?

C'est bon merci beaucoup j'ai pu répondre a la première question

> La réponse à la deuxième question se déduit assez aisément de la première.

J'ai quand même un pb pour résoudre la suite, j'ai commencé comme ca mais je
bloque pour trouver d'autres solutions (j'en ai 2 il m'en faut 6) :
4cos^3(x)-3cos(x)=0,5
4cos^3(x)-3cos(x)=cos(3x)
donc cos(3x)=0,5

cos (3x)=cos pi/3 (sur le cercle trigonométrique)
donc {3(x)=pi/3 [2pi]
ou{3x=-(pi/3) [2pi]

equivaut à {x=pi/9 [2pi/3]
ou {x=-(pi/9) [2pi/3]

ensuite je dois trouver 4 autres solutions dans [-pi ; pi[, et je suppose
que je dois utiliser cos(x)=sin(x)=cos(pi/2-x) mais je ne sais pas comment
faire...



> N'hésites pas à repasser si tu n'y arryves toujours pas.

Merci !!

(les "{" reprèsentent les systèmes d'équation, "/" la divison et "pi"
représente "pi" que je n'arrive pas a ecrire...)

[Anonyme]

Dans le message news:ctblir$ntg$1@aphrodite.grec.isp.9tel.net,
charlotte a écrit:
>
> J'ai quand même un pb pour résoudre la suite, j'ai commencé comme ca
> mais je bloque pour trouver d'autres solutions (j'en ai 2 il m'en
> faut 6) : 4cos^3(x)-3cos(x)=0,5
> 4cos^3(x)-3cos(x)=cos(3x)
> donc cos(3x)=0,5
>
> cos (3x)=cos pi/3 (sur le cercle trigonométrique)
> donc {3(x)=pi/3 [2pi]
> ou{3x=-(pi/3) [2pi]
>
> equivaut à {x=pi/9 [2pi/3]
> ou {x=-(pi/9) [2pi/3]
>
> ensuite je dois trouver 4 autres solutions dans [-pi ; pi[, et je
> suppose que je dois utiliser cos(x)=sin(x)=cos(pi/2-x) mais je ne
> sais pas comment faire...

Bonjour,
Mais si tu as bien les 6, ayant pris soin d'écrire à juste titre
"[2pi/3]" c'est à dire "plus tout multiple de 2pi/3".

Ca te donne pi/9 ; pi/9+2pi/3; pi/9+4pi/3
et -pi/9; -pi/9+2pi/3; -pi/9+4pi/3

Encore un tout petit peu de travail pour enlever 2pi par-ci par là de
manière à avoir chaque solution dans [-pi ; pi].
>
> (les "{" reprèsentent les systèmes d'équation, "/" la divison et "pi"
> représente "pi" que je n'arrive pas a ecrire...)
Ca va très bien comme ça...

--
Cordialement,
Bruno

[Anonyme]

Mais oui que je suis bête !!!
Je suis vraiment stupide...
Mais maintenant j'ai un autre problème, c'est dans l'exo suivant, il faut
que je trouve 3 solutions dans le polynôme P= 4x^3-3x-0,5
Il y a forcément un rapport avec l'équation précédente qui est
4cos^3(x)-3cos(x)-0,5=0 mais je ne sais pas comment faire... Il faut
surement mettre un X quelque part mais je ne vois vraiment pas...
C'est pour demain je ne sais pas comment je vais faire...
Merci beaucoup Bruno
Charlotte_désespérée...


> Bonjour,
> Mais si tu as bien les 6, ayant pris soin d'écrire à juste titre
> "[2pi/3]" c'est à dire "plus tout multiple de 2pi/3".
>
> Ca te donne pi/9 ; pi/9+2pi/3; pi/9+4pi/3
> et -pi/9; -pi/9+2pi/3; -pi/9+4pi/3
>
> Encore un tout petit peu de travail pour enlever 2pi par-ci par là de
> manière à avoir chaque solution dans [-pi ; pi].[color=green]
> >
> > (les "{" reprèsentent les systèmes d'équation, "/" la divison et "pi"
> > représente "pi" que je n'arrive pas a ecrire...)
> Ca va très bien comme ça...
>
> --
> Cordialement,
> Bruno
>[/color]

[Anonyme]

Le Thu, 27 Jan 2005 23:03:30 +0100, charlotte a écrit :

> Mais oui que je suis bête !!!
> Je suis vraiment stupide...
> Mais maintenant j'ai un autre problème, c'est dans l'exo suivant, il faut
> que je trouve 3 solutions dans le polynôme P= 4x^3-3x-0,5 Il y a
> forcément un rapport avec l'équation précédente qui est
> 4cos^3(x)-3cos(x)-0,5=0 mais je ne sais pas comment faire... Il faut
> surement mettre un X quelque part mais je ne vois vraiment pas... C'est
> pour demain je ne sais pas comment je vais faire... Merci beaucoup Bruno
> Charlotte_désespérée...
>
Pose x=cos(alpha) et résous l'équation en alpha. Puis revient à x.
--
jjr

[Anonyme]

charlotte a écrit:
> Mais oui que je suis bête !!!
> Je suis vraiment stupide...
> Mais maintenant j'ai un autre problème, c'est dans l'exo suivant, il faut
> que je trouve 3 solutions dans le polynôme P= 4x^3-3x-0,5
> Il y a forcément un rapport avec l'équation précédente qui est
> 4cos^3(x)-3cos(x)-0,5=0 mais je ne sais pas comment faire... Il faut
> surement mettre un X quelque part mais je ne vois vraiment pas...
> C'est pour demain je ne sais pas comment je vais faire...
> Merci beaucoup Bruno

Effectivement j'ai peur d'arriver trop tard....
Et bien comme tu l'as vu l'expression 4x^3-3x rappelle
4*cos(x)^3-3cos(x)=cos(3x). On va alors introduire cette expression dans
P pour simplifier les calculs : posons x = cos(y). Ceci est valable
uniquement si x est dans [-1,1], mais la suite va nous montrer que les
racines sont aussi dans cet intervalle.
P(x) = 0 4x^3-3x=0,5
4cos^3(y)-3cos(y) = 0,5
cos(3y) = 0,5
y = ... (cf la première question...)
x = ... (en utilisant x=cos(y)).

Ce qui pourrait t'étonner est que l'on va obtenir 6 solutions pour y
modulo 2 pi et que le polynôme n'a que 3 solutions. Mais c'est parce que
la fonction cosinus n'est pas injective, c'est à dire qu'elle peut
envoyer deux nombres différents sur la même image (par exemple ici pi/9
et -pi/9).

ah oui juste pour la prochaine fois essayes de répondre en dessous du
message que tu cites, cf : http://www.giromini.org/usenet-fr/repondre.html

--
albert

[Anonyme]

> Effectivement j'ai peur d'arriver trop tard....
> Et bien comme tu l'as vu l'expression 4x^3-3x rappelle
> 4*cos(x)^3-3cos(x)=cos(3x). On va alors introduire cette expression dans
> P pour simplifier les calculs : posons x = cos(y). Ceci est valable
> uniquement si x est dans [-1,1], mais la suite va nous montrer que les
> racines sont aussi dans cet intervalle.
> P(x) = 0 4x^3-3x=0,5
> 4cos^3(y)-3cos(y) = 0,5
> cos(3y) = 0,5
> y = ... (cf la première question...)
> x = ... (en utilisant x=cos(y)).
>
> Ce qui pourrait t'étonner est que l'on va obtenir 6 solutions pour y
> modulo 2 pi et que le polynôme n'a que 3 solutions. Mais c'est parce que
> la fonction cosinus n'est pas injective, c'est à dire qu'elle peut
> envoyer deux nombres différents sur la même image (par exemple ici pi/9
> et -pi/9).

Oui c'est vrai !! merci beaucoup !
Je cherchais en fait beaucoup trop loin...
Merci a Albert, Jean Jacques et Bruno !!!

> ah oui juste pour la prochaine fois essayes de répondre en dessous du
> message que tu cites, cf : http://www.giromini.org/usenet-fr/repondre.html

C'est noté