Tracer des tangentes 1ère ES

[stephane61]

Bonjour,

J'ai interro demain sur la dérivation et il y a encore deux choses que j'ai du mal à comprendre : tracer une tangente et déterminer f'(-8)... d'après le graphique.

Voici deux exercices corrigés par mon prof :

Exercice 1

La courbe ci-dessous est celle d'une fonction f définie sur [-8;7]. Les droites dessinées sont les tangentes aux points indiqués.
Déterminer f '(-8), f '(-4), f '(-3), f '(-1), f '(2), f '(5) et f '(7)
Réponse :
f'(-8)=-1/2
f'(-4)=-5/2
f'(-3)=0
f'(-1)=2
f'(2)=0
f'(5)=-5/2
f'(7)=-3
Comment fait-on pour trouver ces résultats ?

http://imagesia.com/droites-001_sd9o

Exercice 2

On donne ci-contre la représentation graphique, notée C, de la fonction f(x)=x² sur R

1) calculer f ' de f: f '(x)=2x

2) calculer f '(2), que représente ce nombre ? En déduire le tracé de la tangente à la courbe C au point d'abscisse 2 et donner enfin une équation de la tangente.

réponse : f '(2)=2*2=4=>coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 2

3) Même question pour f '(-1) =2*(-1)=-2

4) Même question pour f '(0)= 0

Equation des tangentes :

n=2, y =
y=f '(2)(n-2)+f(2)
y=4(x-2)+4
y=4x-4

x=-1
y=f'(-1)(x+1)+f(-1)
y=-2(x+1)-1
y=-2x-1

x=0
y=f'(0)(x-0)+f(0)
y=0

http://imagesia.com/droites-002_sd9m

Comment fait-on pour tracer ces tangentes et d'où sort ce y=2x-4 (erreur du prof ?). Moi je fais par ex pour f'(2) : je place le point (2;4) puis je vais un carreau vers la droite et je monte de 4 pour le coeff. mais lui semble faire l'inverse??

Merci d'avance à ceux qui m'aideront car je dois absolument rattraper ma dernière note !

[annick]

Bonjour,

on a dû te dire que la dérivée en un point correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point.

Par exemple, lorsque tu cherches f'(-8), tu cherches le coefficient directeur de la tangente en -8 (c'est-à-dire la pente de la droite).
Pour lire cela sur un graphique, tu prends deux points de la tangente et tu vois de combien tu te déplaces en y et de combien tu te déplaces en x pour aller d'un point à un autre.
Dans l'exemple que tu as ici pour -8, si tu suis le vecteur directeur de ta droite, tu vois que tu descends de -1 en y lorsque tu avances de 2 en x. Donc delta y/delta x= -1/2
Le coefficient directeur est donc de -1/2 et f'(-8)=-1/2.
Essaye de faire la même chose pour les autres dérivées que tu cherches pour voir si tu as bien compris mon explication.

[stephane61]

Bonjour et merci de m'avoir répondu. J'ai essayé mais je n'y arrive pas. Vous prenez un autre point au hasard ? Par ex pour f ' (-3) ou f'(7) ils touchent à aucune droite donc comment on fait?
Pour f'(-4) je descends de -2.5 quand j'avance de 1 donc -2.5/1 = -2.5?

[annick]

Ah! oui, j'avais aussi oublié de te dire que parfois la tangente est horizontale, donc que son coefficient directeur est nul (il n'y a pas de pente). Dans ce cas, f'=0 et on a, en principe, un minimum ou un maximum.
C'est ce que tu peux voir sur ta figure pour f'(-3) et f'(2) qui sont toutes les deux nulles.
Pour f'(7), je lis sur la figure que je monte de 3 en y quand je recule de 1 en x, soit f'(7)=3/(-1)= -3
Pour f'(-4), tu as raison, c'est cela.(je te rappelle que -5/2=-2,5, donc pas de problème)

Encore une petite précision : j'ai parfois parlé en carreaux et non en unités. Cela n'a aucune importance si je le fais pour les x et les y, puisque je garde le même rapport. Mais il peut arriver que les unités ne soient pas les mêmes sur les deux axes, donc il est préférable de parler en unités comme tu l'as fait pour f(-4)

[stephane61]

Ok je pense y arriver sauf pour f'(7) et f'(-3) : comment voyez-vous à quelle droite se référer. Pour f'(7) vous montez de 3 à partir du point (7;-5)? Désolé je sais que je suis long à comprendre!! Pour l'autre exercice pouvez-vous m'expliquer svp?

[annick]

Pour f'(-3), on voit qu'il y a un minimum et que le tangente est horizontale, donc comme je te l'ai dit, f'(-3)=0 (la variation en y est nulle)
Pour f'(7), le dessin est flou et pas entier et je n'arrive pas à bien voir.
Mais la pente d'une droite est pareille partout, donc si je me place ailleurs sur cette tangente, je vois qu'entre deux points faciles de cette droite,(5;1)et(5,5;-1) j'avance d'un carreau en x et je descends de 3 carreaux en y, ce qui me donne comme coefficient directeur -3/1= -3, ce qui correspond bien à f'(7).

[stephane61]

Ok c'est plus claire je vais essayer de m'entrainer avec vos explications. Pour l'autre exercice savez-vous comment faire svp?

[annick]

Pour l'exercice 2 :

Question 1 ok ?
Question 2 : f'(2)=4 ok ?
L'équation de la tangente en un point d'abscisse x0 est y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)
Donc ici cela donne x=2 f'(2)=4 f(2)=4 soit l'équation de la tangente y=4(x-2)+4= 4x-8+4= 4x-4

Maintenant pour la tracer, tu fais comme n'importe quelle droite : tu choisis deux points par exemple
A(2;4) que tu connais et B(0;-4). Et voilà, ta droite est tracée.

[stephane61]

Bonsoir, merci beaucoup : l'exercice 1 j'ai réussi à le refaire grâce à vous alors que ça fait une semaine que j'essaie de comprendre. Maintenant je vais essayer de tracer mes droites avec vos explications (oui pour question 1 et 2 j'ai compris). Très bonne soirée et encore un grand MERCI

[annick]

J'espère que ton contrôle se passera le mieux possible demain.
Bonne soirée à toi aussi.

[stephane61]

Merci j'espère bien avec tout le temps que j'y ai passé!!!