√x + √y = √xy

[zygomatique]

pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple ....

or les seuls diviseurs de 1 dans Z sont 1 et -1 ...

et

[titine]

##la racine carrée d'un nombre positif est positive ## faux. Revoyez la définition de racine carrée. Si a u reel+ alors b sa racine carree ssi b^2 = a => -2 est du une racine car (-2)^2 = 4

NON !!
Je crois que c'est plutôt toi qui devrais revoir la définition de la racine carrée !
Définition : x étant un réel positif, √x est l'unique nombre positif dont le carré vaut x.
Voir par exemple : https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Racine_carr%C3%A9e
Il y a deux nombres dont le carré vaut 4, (-2) et 2. Un seul de ces nombres est la racine carrée de 4 : 2.

[Black Jack]

À la ligne 6 d'où tu sors ton 2 ?

Hors cas X = Y = 0 (traité au début), on sait que x est entier positif --> x >= 1 et X >= 1

On vérifie que x = 1 ou 2 ou 3 ne conviennent pas (ne donnent pas de y entiers)... et donc on a x >= 4, soit x >= 2

[Pseuda]

pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple ....

or les seuls diviseurs de 1 dans Z sont 1 et -1 ...

et

Bonjour,

Mais zygomatique, n'implique pas , ni même .

Si on avait , alors là oui, on pourrait en déduire (une racine carrée ne peut être un rationnel que si c'est un entier), mais pas seulement avec .

Comment le montres-tu alors ?

A mon avis, ce problème se résout par une étude de fonction sur ]1, +oo [ : cette fonction y = est strictement décroissante sur cet intervalle, l'ensemble image est aussi ]1, +oo[ et ne possède qu'un seul point à coordonnées entières (2 ; 2).

[zygomatique]

je ne dis pas que

(puisqu'il y a une infinité de solution dans R)


je dis que si on cherche des solutions entières alors on a forcément relatif ...

parce que si n'est pas rationnel alors il en est de même de et donc de x ...

[Pseuda]

On cherche des solutions à coordonnées entières en x et y, pas en et , et x entier n'implique pas entier ?

Autrement dit, on peut avoir x entier, et pas entier. donc la phrase suivante, à mon sens, est fausse :

je dis que si on cherche des solutions entières alors on a forcément relatif ......

[Pseuda]

Bonjour,

Pour s'en convaincre, prenons un autre exemple : soit à résoudre l'équation dans :

Avec ton raisonnement, tu dirais : on a donc et (ou donc ), et divisent 1, donc égaux à 1. Donc cette équation admet comme seule solution (0 , 4) (facile à faire). Et tu passerais à côté de la solution (2, 2).

Ton raisonnement est trop restrictif quant au nombre de solutions.

[Black Jack]

Je recommence ma démo qui était un peu ambiguë.

Vx + Vy = V(xy)

a)
x = 0 impose y = 0 (et vive versa) --> solution triviale, le couple (x,y) = (0,0)

b)
Si x et y sont différents de 0 :
On vérifie que x = 1 ne conduit pas à y dans N --> x = 1 n'est pas élément d'un couple solution.

--> x >= 2
Vx + Vy = V(xy)
Vy = Vx/(Vx - 1)
On vérifie facilement que x = 2 ou 3 ne conduit pas à y dans N et donc x >= 4

Poser Vy = Y et Vx = X, on obtient Y = X/(X-1) pour X >= 2 (ici X n'est pas forcément dans N)

f(X) = X/(X-1) (pour X >= 2)
f'(x) = -1/(X-1)² < 0 --> f(X) est décroissante
f(2) = 2
Et donc f(X) <= 2, Y <= 2
--> Vy <= 2 ; y <= 4

Il suffit donc d'essayer y = 2 ou 3 ou 4 et vérifier si certaines de ces valeurs de y donnent x entier.
C'est évidemment quasi immédiat et on trouve que seul y = 4 donne une valeur entière pour x

En groupant les résultats ci-dessus, il n'y a donc que 2 couples (x,y) solutions (dans N²) et ce sont les couples (0, 0) et (4,4)

[Aerosun006]

Quelqu'un peut essayer de juste trouver le NOMBRE de solution en passant par le graphique de chaque équation (fonction f(x) = membre de gauche et fonction f(x')= membre de droite) ? (même à main levée)

[Aerosun006]

J'ai essayé : √x+√y=√xy => √x+√y-√xy=0 => √y * (1-√x)+√x=0
=> √y = -√x/(1-x)
=> (x1)
=>

Comment étudier la croissance de cette fonction (sait on étudier la croissance dune fonction seulement à partir de l'équation algébrique ? )

[titine]

Je ne comprends pas :

J'ai essayé : √x+√y=√xy => √x+√y-√xy=0 => √y * (1-√x)+√x=0
=> √y = -√x/(1-x)
Non : √y = -√x/(1-√x)
=> (x1)
=>
(1-x)² = 1-2x+x²

Comment étudier la croissance de cette fonction (sait on étudier la croissance dune fonction seulement à partir de l'équation algébrique ? )

De quelle fonction parles tu ?
Celle qui à x associe ?
Pour étudier ses variations on peut utiliser sa dérivée.

[Aerosun006]

J'ai fait une erreur mais je parle de la fonction qui a x associé le polynôme de fin.

[zygomatique]

Bonjour,

Pour s'en convaincre, prenons un autre exemple : soit à résoudre l'équation dans :

Avec ton raisonnement, tu dirais : on a donc et (ou donc ), et divisent 1, donc égaux à 1. Donc cette équation admet comme seule solution (0 , 4) (facile à faire). Et tu passerais à côté de la solution (2, 2).

Ton raisonnement est trop restrictif quant au nombre de solutions.

merci ...

cette fois je suis convaincu ...

[titine]

J'ai fait une erreur mais je parle de la fonction qui a x associé le polynôme de fin.

De quel polynôme parles tu ?
Un polynôme est de la forme a + bx + cx² + dx³ + .....

[Razes]

Démonstration que x et y sont des carrés
C'est ce qui manquait à ma démonstration
Soient tel que
Si existent, nous aurons

avec

donc est un carré de plus nous avons
on procède de la même façon pour

Tout doit passer par la démonstration que et sont des carrés, une fois c'est fait, on pose et ; avec donc notre équation devient et là on applique ce qu'a proposé zygomatique; en l’occurrence ,
Vu l'égalité, ce sont des diviseurs de 1 et les seuls diviseurs de 1 sont 1 et -1.

Cas 1)

Donc

Cas 2)

Donc

[Razes]

Je voulais vous proposer une approche graphique, mais je ne vois pas comment afficher une image.

[zygomatique]

bravo ...

oui en fait il faut montrer que x et y sont des carrés parfaits ...

[zygomatique]

tiens je reviens dessus pour le fun ...

pb : montrer que si (x, y) est une solution alors x et y sont des carrés

=> xy est un carré

bonus : x et y ont même parité ... et sont pairs ...

on multiplie par ::

=> y est un carré

idem en multipliant par

[anthony_unac]

bravo ...

oui en fait il faut montrer que x et y sont des carrés parfaits ...

On en revient finalement à ce que je disais dès le début sans pour autant l'avoir clairement démontré je le concède

[Razes]

Tiens, tiens, un sujet qui reviens! (Je ne reviens pas aux précédentes démonstrations)
Soient , tel que: (1)




Ceci entraine que:

Reportons ce résultat dans l'équation (1), nous obtenons:

Nous avons donc deux solutions:
d'où
ou
d'où
CQFD