√x + √y = √xy

[Aerosun006]

Bonjour, la question est dans le titre : trouveriez nombre de solutions de cette équations (solutions dans N)
J'ai tenté une démarche mais ne suis bloqué : vu qu'il ne faut pas résoudre l'équation mais bien seulement le nombre de solutions, j'ai voulu transformer chaque membre en une fonction, isoler y, et trouver les intersections entre ces fonctions. Mais le problème c'est que je n'arrive pas à isoler y.

[Aerosun006]

Rmq : l'exercice s'adresse à des gens ne connaissant pas les équations diophantiennes ^^

[WillyCagnes]

bjr

√x + √y = √xy en divisant par √xy
=1/√y + 1/√x =1

x=y=4 racine evidente

[anthony_unac]

Je propose 2 couples solution au total : (0;0) et (4;4)

[Aerosun006]

Je suis d'accord avec vous mais ce que je demande c'est le démarche à suivre ...

[anthony_unac]

En bidouillant l'expression de départ, on aboutit à
Ceci implique que est nécessairement un carré parfait notons le
Il s'en suit :


On peut s'en doute conclure en disant que le nombre de solutions correspond au nombre de valeurs de tels que soit un entier.

[zygomatique]

salut



or les seuls diviseurs de 1 dans Z sont 1 et -1 ...

[Razes]

salut



or les seuls diviseurs de 1 dans Z sont 1 et -1 ...

C'est la démonstration qui me paraissait la plus clair, mais un point me gène, c'est de considérer que et sont dans sans justification, ou plus simplement de considérer et sont dans
Obligatoire de démontrer que et sont des carrés.

[Aerosun006]

Bonjour zygomatique, comment as tu trouver ton équation finale ? Y A t il une technique pour y arriver ?

[Aerosun006]

De plus es,ne faut il pas tenir compte que √ est une racine, ce qui implique 2 solutions opposés ?

[zygomatique]

pour tous réels a et b ::

ou encore on l'identité remarquable :: ou encore


ensuite pour revenir à l'équation initiale :

1/ évidemment les racines carrées imposent que leurs arguments respectifs soient positifs

2/ se rappeler que parfois pour résoudre une équation dans R on travaille dans C ...

mais

3/ dans N (ou Z) je ne cherche que des facteurs entiers donc ou

et ces deux systèmes ont le bon gout de me donner des solutions entières ...


à comparer par exemple avec l'équation à résoudre dans Z ...



REM : l'addition est une loi interne dans N donc

donc

[Aerosun006]

Je ne comprends pas,qu'est ce qui implique quoi ? C'est le signe dune racine carré ou d'un radical ? En outre, ou trouver toutes ces formules ?

[Pseuda]

Bonjour, la question est dans le titre : trouveriez nombre de solutions de cette équations (solutions dans N)
J'ai tenté une démarche mais ne suis bloqué : vu qu'il ne faut pas résoudre l'équation mais bien seulement le nombre de solutions, j'ai voulu transformer chaque membre en une fonction, isoler y, et trouver les intersections entre ces fonctions. Mais le problème c'est que je n'arrive pas à isoler y.

Eliminons le cas trivial : x=y=0. Puisqu'il s'agit seulement de donner le nombre de solutions, l'équation se transforme en :, soit . (x=1 ne donne pas de solutions).

On a donc : 1 2 (car x=2 ou 3 ne donne pas de solutions, donc x4), donc 1y4, d'où une deuxième solution : y=4 (y=1, 2 ou 3 ne donne pas de solution), et donc x=4.

[Razes]

;


Donc ; c'est juste pur simplifier l'écriture
Remplaçons dans l’équation initiale, nous obtenons


il y a deux possibilité
*; dans ce cas
*

Donc ; Le seul diviseur de dans est, donc ; d’où

Injectons cela dans l'équation initiale, nous obtenons


Donc les cas possibles sont ou
* donc et
* donc et

[zygomatique]

pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple ....

[Razes]

pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple ....

J'étais le 1er à dire que ta démonstration est clair mais tu n'as pas répondu à ma question concernant un point important.

salut



or les seuls diviseurs de 1 dans Z sont 1 et -1 ...

C'est la démonstration qui me paraissait la plus clair, mais un point me gène, c'est de considérer que et sont dans sans justification, ou plus simplement de considérer et sont dans
Obligatoire de démontrer que et sont des carrés.

il te faut démontrer que et sont dans , car le produit de deux nombres de peut aussi avoir 1 comme résultat. il fallait démontrer que et sont des carrés avant de tirer la conclusion. Si tu as des critiques concernant ma méthode, pas de soucis (à part le cas répétition qui n’altère en rien raisonnement).

[Pseuda]

;


Donc ; c'est juste pur simplifier l'écriture
Remplaçons dans l’équation initiale, nous obtenons


il y a deux possibilité
*; dans ce cas
*

Donc ; Le seul diviseur de dans est, donc ; d’où

Injectons cela dans l'équation initiale, nous obtenons


Donc les cas possibles sont ou
* donc et
* donc et

Bonsoir,

Donc : il me semble qu'il y a un souci ici.

[Razes]

J'ai oublié de noter cela


Donc ; Donc divise ce qui implique que divise , d’où

Donc

Ce qui permet de raccourcir la démonstration.

[Pseuda]

Ok. A partir de k=1, tu as directement y (), puis x ?

[Razes]

;


Donc ; c'est juste pur simplifier l'écriture
Remplaçons dans l’équation initiale, nous obtenons


il y a deux possibilité
Cas 1)
; dans ce cas
Cas 2)


Donc

Donc ; Donc
Donc