√x + √y = √xy

[Pseuda]

Le seul problème encore, c'est que rien ne prouve au départ que k est un entier.

[Aerosun006]

Merci à tous pour votre aide ! Mais j'ai encore une question à la quelle on ne m'a pas répondu ... Dans ce genre de cas, faut-il prendre en compte les 2 racines opposées ou non ? Si non, me répondre pourquoi.

[Razes]

Bonjour, la question est dans le titre : trouveriez nombre de solutions de cette équations (solutions dans N)

il n y a pas de racines opposées, x et y sont sous la racine donc sont positifs.

Mais ma démonstration est incomplète comme l'a signalé

Le seul problème encore, c'est que rien ne prouve au départ que k est un entier.

[zygomatique]

pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple ....

J'étais le 1er à dire que ta démonstration est clair mais tu n'as pas répondu à ma question concernant un point important.

salut



or les seuls diviseurs de 1 dans Z sont 1 et -1 ...

C'est la démonstration qui me paraissait la plus clair, mais un point me gène, c'est de considérer que et sont dans sans justification, ou plus simplement de considérer et sont dans
Obligatoire de démontrer que et sont des carrés.

il te faut démontrer que et sont dans , car le produit de deux nombres de peut aussi avoir 1 comme résultat. il fallait démontrer que et sont des carrés avant de tirer la conclusion. Si tu as des critiques concernant ma méthode, pas de soucis (à part le cas répétition qui n’altère en rien raisonnement).

je t'ai répondu avec un PS à 13h21 .... et que je complète :

l'addition et la multiplication sont des lois internes dans Z ....

donc est entier si et seulement si est entier ... <=> x (et y) est un carré parfait ...

ce qu'on trouve à postériori ....


cette équation admet évidemment une infinité de solution réelle sur l'hyperbole xy = 1 (ou xy = -1) mais je ne prendrais que celle qui conviennent ....

[Razes]

donc est entier si et seulement si est entier ... <=> x (et y) est un carré parfait ...

ce qu'on trouve à postériori ....


cette équation admet évidemment une infinité de solution réelle sur l'hyperbole xy = 1 (ou xy = -1) mais je ne prendrais que celle qui conviennent ....

Je suis d’accord avec ça, mais ce n'est pas le passage qui nécessite une argumentation, c'est plus en aval, pour passer du produit de et dire que

Démonstration que x et y sont des carrés
C'est ce qui manquait à ma démonstration
Soient tel que
Si existent, nous aurons

avec

donc est un carré de plus nous avons
on procède de la même façon pour

[Aerosun006]

Bonjour, que signifie la barre verticale ?

[Razes]

Bonjour, que signifie la barre verticale ?

divise. (2 divise 6; 5 divise 10)

[Aerosun006]

"il n y a pas de racines opposées, x et y sont sous la racine donc sont positifs." -Razes


Euh racine de 4 egal 2 ou -2 ..........

[Aerosun006]

car 2*2 = 4 et -2*(-2) = 4 aussi ....

[Razes]

Bonjour, la question est dans le titre : trouveriez nombre de solutions de cette équations (solutions dans N)

C'est définie ?

[Pseuda]

Merci à tous pour votre aide ! Mais j'ai encore une question à la quelle on ne m'a pas répondu ... Dans ce genre de cas, faut-il prendre en compte les 2 racines opposées ou non ? Si non, me répondre pourquoi.

Bonsoir,

Ce que tu n'as peut-être pas compris, c'est que, dès lors qu'on écrit , cela veut dire automatiquement 2 choses :

1) que x est 0 (une racine carrée d'un nombre négatif, cela n'existe pas)

2) que est 0 (une racine carrée est par définition toujours positive : la racine carrée de x, c'est le nombre positif dont le carré est x ; le nombre négatif dont le carré est x s'écrit quant à lui : ).

Dans cet exercice, on ne parle donc que de nombres positifs.

[Pseuda]

donc est entier si et seulement si est entier ... <=> x (et y) est un carré parfait ...

ce qu'on trouve à postériori ....


cette équation admet évidemment une infinité de solution réelle sur l'hyperbole xy = 1 (ou xy = -1) mais je ne prendrais que celle qui conviennent ....

Je suis d’accord avec ça, mais ce n'est pas le passage qui nécessite une argumentation, c'est plus en aval, pour passer du produit de et dire que

Démonstration que x et y sont des carrés
C'est ce qui manquait à ma démonstration
Soient tel que
Si existent, nous aurons

avec

donc est un carré de plus nous avons
on procède de la même façon pour

Ok ! Mais il me semble que l'exercice est plus dans l'esprit d'une étude de fonction, soit exprimer y en fonction de x, etc... , puis trouver les solutions à partir de considérations graphiques .... (dans un intervalle, etc...) ?

[Razes]

Ok ! Mais il me semble que l'exercice est plus dans l'esprit d'une étude de fonction, soit exprimer y en fonction de x, etc... , puis trouver les solutions à partir de considérations graphiques .... (dans un intervalle, etc...) ?

Oui, dans ce cas l'équation devient :

qu'il faut étudier mais je ne sais pas si c'est l'esprit de l'exercice.

[Pseuda]

Pour la recherche du nombre de solutions, l'esprit de l'exercice paraît bien être celui-ci : y en fonction x, étude de la fonction, courbe représentative, recherche des points à coordonnées entières...., et il n'y en a pas 36 (la limite de la fonction est 1 en +oo).

[Aerosun006]

Pourtant mathématiquement, √4=x <=> 4 = x^2 <=> x=+- 2


Expliquez moi sil vous plait je suis perdu ...
Comment sait on si c'est une racine carré ou bien un radical vu que c'est le même signe √

[Razes]

Pourtant mathématiquement, √4=x <=> 4 = x^2 <=> x=+- 2


Expliquez moi sil vous plait je suis perdu ...
Comment sait on si c'est une racine carré ou bien un radical vu que c'est le même signe √

a) La racine d'un nombre est toujours positive car le domaine de définition de la fonction racine est ; donc la racine de 4 est +2 (Fonctions bijectives)

b) Les solutions de l'équation x^2=4 sont bien entendu +2 et -2 on les appelle racines de l'équation mais ce sont plutôt les solutions qui vérifient (-2)^2=4 et 2^2=4.
Ton équation x^2=4:
concernant le membre de gauche
Si x est solution alors -x est aussi solution car la fonction f(x)=x^2 est paire (Fonctions surjectives)

concernant le membre de droite
Sa racine est toujours +2


Donc les solutions sont x=+2 et -x=+2

Par ailleurs, concernant ce que tu as noté √4=x <=> 4 = x^2 <=> x=+- 2; la partie √4=x <=> 4 = x^2 est fausse car il y a une simple implication et non pas une équivalence.

Il faut distinguer solution de racine.

[zygomatique]

il semble évident qu'il y a confusion entre les fonctions carrées et racine carrée ....

donc

la racine carrée d'un nombre positif est positive donc

[Aerosun006]

Effectivement j'ai remplacé implication et équivalance ...
##a) La racine d'un nombre est toujours positive car le domaine de définition de la fonction racine est ; donc la racine de 4 est +2 (Fonctions bijectives## cest faux ... le dom f est justement la variable de départ normal quelle est positive cest la condition d'existence .... on étudiant la fonction racine carré je suis d'accord que les réponses sont positives mais cest justement car on la décidé , le mathématicien à décidé que cest une fonction ! Une fonction donc 1 solution mais le graphique √ implique 2 solutions opposée !!!

##concernant le membre de droite
Sa racine est toujours +2## une racine à une expression non littérale ?? On peut factoriser 4 en -2 fois -2

De plus, pour les explications , je crois que vous confondez racine et racine carrée --`

##la racine carrée d'un nombre positif est positive ## faux. Revoyez la définition de racine carrée. Si a u reel+ alors b sa racine carree ssi b^2 = a => -2 est du une racine car (-2)^2 = 4

[Black Jack]

Solution triviale : x = y = 0

Si x et y diff de 0 :

Poser Vx = X et Vy = Y (avec X et Y > 0)
X + Y = XY
On vérifie que X = 1 n'est pas solution et on fait alors : Y = X/(X-1)

On étudie les variations de f(X) = X/(X-1) pour x >= 2, on trouve immédiatement que f est décroissante.

Et avec f(2) = 2, on déduit que Y <= 2

Donc que y <= 4

Il reste donc uniquement à "essayer" : y = 1 , 2 , 3 et 4

D'où il ressort rapidement que seul y = 4 peut convenir et correspondant à x = 4

Il n'y a donc que 2 couples (x,y) solutions, qui sont (0 ; 0) et (4 ; 4)

[Aerosun006]

À la ligne 6 d'où tu sors ton 2 ?