Théorème des valeurs intermédiaires

[Ich]

Soit f(x)=1+x/(sqrt(1+x^2)) définie sur R
Montrer que l equation f(x)=x ademt une unique solution a dans R et que a € ]0,2[.
J ai posé que h (x)= f (x)-x
J ai calculer dérivé de
f'(x)= 1/((1+x^2)sqrt (1+x^2)) donc f est strictement croissante sur R puisque elle est positive
Ma question est ce que h( x ) est croissante ou décroissante?
Merci d avance

[mathelot]

bonsoir,
on peut calculer
étudier le signe de h", puis celui de h' , puis les variations de h.

[mathelot]

remarque: note sur les exposants fractionnaires

pour pour a,b réels , on a

on remarque que pour et


pour :



on est conduit à noter pour

comme
on voit que


l'automatisme de la dérivation est généralisé aux puissances fractionnaires.

[hdci]

Bonjour,
Concernant les variations de h :


Donc


Mais au fait, que peut-on dire de par rapport à 1, compte tenu du dénominateur ?
On en déduit le signe de , donc...

[Ich]

(1+ x ^2 )sqrt (1+x^2)>1
1/(1+ x ^2 )sqrt (1+x^2) <1
H(x) est décroissante
Question si f(x)est decroissante peut on conclure directement que
H' =f'x -x <0 donc decroissante " c est autre exemple "

[hdci]

Question si f(x)est decroissante peut on conclure directement que
H' =f'x -x <0 donc decroissante " c est autre exemple "

Je n'ai pas bien compris.

Si la question est "si f est décroissante alors est décroissante" la réponse est oui, car c'est la somme de deux fonctions décroissantes.