1S Tétraèdre et polynôme de degré deux

[Jessica54]

Bonjour à tous!
J'aurai besoin de votre aide pour un exercice "tétraèdre et polynôme de degré deux" pour mon dm de maths, dont voici l'énoncé :

ABCD est un tétraèdre, BCD est un triangle équilatéral : BC = BD = CD = AB = 4 cm.
La droite (AB) est orthogonale au plan (BCD). M est un point variable sur le segment [BC]. On pose BM = x (en cm). Le plan passant par M et parallèle aux droites (AB) et (CD) coupe (BD) en N, (AD) en P et (AC) en Q. On suppose que M est différent de B et que M est différent de C.
1. Démontrer que le quadrilatère MNPQ est un parallélogramme.
2. Démontrer que les droites (QM) et (MN) sont perpendiculaires.
3. a) Exprimer MN en fonction de x.
b) Exprimer MQ en fonction de x.
c) Exprimer l'aire de MNPQ en fonction de x.
4. f est la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 4] par :

[CENTER]f (x) = 4 x - x²[/CENTER]
a) Après avoir exprimer f sous forme canonique, étudier le sens de variation de f.
b) Dresser le tableua de variation de f.
c) Pour quelle positon de M sur [BC], l'aire de MNPQ est-elle maximale ? Que vaut alors cette aire ?

Voilà, merci d'avance de votre aide!

[Jessica54]

J'ai réussi à faire ce qui suis mais pas le reste, s'il y a quelqu'un qui pourrait m'aider pour le reste et me corriger ceci... Merci...

1. (MN) et (CD) appartiennent à P, P appartient au plan (BCD) et (MN) appartient à P qui est parallèle à (CD). Donc (MN) est parallèle à (DC).
(QP) et (CD) appartiennent à M, M appartient au plan (ACD) et (QP) appartient à M qui est parallèle à (CD).
Donc (QP) est parallèle à (DC).
Puisque deux doites (MN) et (QP) sont parallèles à la même troisième (CD) alors elles sont parallèles entre elles.
Donc le quadrillatère MNPQ est un parallèlogramme.

2. Puisque deux droites (QM) et (AB) sont parallèles entre elles, alors la droite (BC) perpendiculaire à (AB) et aussi perpendiculaire à l'autre droite (QM). Donc MNPQ est un rectangle. Donc (QM) et (MN) sont perpendiculaires.

3.a) il faut utiliser thalès.
b) il faut utiliser thalès.
c)MN * MQ = 4x - x²

4.je sais pas....

[becirj]

Bonsoir

Dans la question 2, ta démonstration est insuffisante. Il vaut mieux utiliser qu'une droite perpendiculaire à un plan est orthogonale à toutes les droites du plan donc (AB) perpendiculaire au plan (BCD) est orthogonale à (CD). ensuite on utilise les parallèlismes de la première question pour en déduire que (MQ) et (MN) sont perpendiculaires.

4.a)
La fonction "carré" est décroissante sur et croissante sur . Sur l'intervalle [0,2[, , la fonction est donc décroissante et la fonction opposée est croissante, il en est de même de f puisque l'on ajoute simplement le nombre 4. On fait le même type de raisonnement sur ]2,4].
b) En définitive, f st croissante sur [0,2] et décroissante sur [2,4].
c) f admet un maximum pour x=2, le point M est alors au milieu de [BC] ; l'aire vaut alors .

[Jessica54]

Merci beaucoup becirj! Est-ce que quelqu'un pourrait me vérifier en me détaillant comment faire pour les questions 3.a) et 3.b). Car j'ai un doute sur mon résulat. Moi je trouve MN = 4x et PQ = -x² en utilisant thalès. Est-ce juste? ....

[becirj]

Non : tes réponses sont fausses mais on peut utiliser Thalès
soit
d'où MN=x.

soit d'où MQ=4-x.

[Jessica54]

Je te remercie beaucoup de ton aide!
1. Démontrer que le quadrilatère MNPQ est un parallélogramme.
Ma démonstration est-elle suffisante?

[becirj]

Ton idée est correcte mais la rédaction est maladroite, de plus 2 côtés parallèles ne suffisent pas pour avoir un parallèlogramme.

Théorème utilisé : quand une droite est parallèle à un plan, elle est paralléle aux droites d'intersection de ce plan avec ceux qui la contiennent.
Soit R le plan passant par M parallèle à (AB) et (CD).
(CD) est parallèle à R donc (CD) est parallèle à l'intersection de R et du plan (BCD) soit (CD) parallèle à (MN).
De même (CD) est parallèle à l'intersection de R et du plan (ACD) soit (CD) parallèle à (QP).
On en déduit que (MN) et (QP) sont parallèles.
Ensuite, on démontre de la même manière que (MQ) et (NP) sont parallèles à (AB) (je te laisse rédiger)

Pour la question 2, il vaut mieux dire d'abord que (QM) et (MN) sont prependiculaires et en déduire ensuite que l'on a un rectangle.

[Jessica54]

ok! Je te remercie beaucoup de ton aide qui m'a été bien précieuse...
Je vais me mettre à rédiger tout cela. Encore merci...