Dm Tes

par **darkazuria** » 23 Oct 2009, 12:48

Bonjour, je dois faire un Dm de maths et j'ai quelques problème avec quelques question.

f(x) = (x³ + x² + 8) / (x² - 1)

Montrer que, pour tout x différent de 1 ou -1,

, où a, b, c, d sont des réel a déterminer

J'ai essayé de travailler la premier fonction pour parvenir à déterminer les a, b ... mais je n'y arrive vraiment pas

Ensuite, Il faut que j'étudie le signe de cette fonction :

Je sais qu'il faut seulement étudier le signe de

car (x² -1)² est toujours positif, mais la je suis bloqué pour étudier le signe à cause du x4

On ne peut pas faire le delta et je ne sais pas trop comment trouver le signe.

J'espère que vous pourrez m'aider. Et merci d'avance ^^

par **Dinozzo13** » 23 Oct 2009, 13:16

mmh, je ne suis pas apparemment le seul à déjà être en vacances, bon alors allons-y :ptdr: .
D'abord, tu établis le domaine. Ensuite, on te demande de déterminer 4 réels a,b,c et d tels que :

, donc là, tu mets le membre de gauche au même dénominateur, c'est-a-dire

, tu arriveras sur le numérateur à des termes en

et constant, tu procède par identification à l'aide d'un systeme.

par **Dinozzo13** » 23 Oct 2009, 13:39

tu me dis si tout va bien jusque là ^^.

par **darkazuria** » 23 Oct 2009, 13:50

Merci beaucoup pour ta réponse, je pense avoir trouvé ^^

Alors j'ai mis le membre de gauche au même dénominateur donc j'ai trouvé ax³ - (ax + bx² - b + cx + d) / (x² -1)

donc par identification j'ai trouver que a = 1; b = 1 ; -a-c = 0 alors c=1 ; -b + d= 8 alors d=9

Et pour la 2ème question que j'ai ennoncé plus haut, vous n'auriez pas une solution?

par **Dinozzo13** » 23 Oct 2009, 13:56

oui oui, pas de pblm
déjà pour etudier le signe de ce quotient, il faut étiudier le signe du numérateur et du dénominateur. Commençons par le plus simple, le dénominateur :

, compte tenu du domaine tu peux directement conclure sur son signe.

par **darkazuria** » 23 Oct 2009, 14:00

oui,

grâce au carré on peut dire qu'il seras toujours positif.

Pas contre le numérateur, je ne voix pas comment on peu étudier son signe.

par **Dinozzo13** » 23 Oct 2009, 14:03

même strictement :

. Pour le numérateur, j'allais y venir ^^.

par **Dinozzo13** » 23 Oct 2009, 14:06

comme

alors

a le signe de

, donc on étudie juste le numérateur, car la positivité stricte du dénominateur n'influence pas le signe du numérateur.

par **Dinozzo13** » 23 Oct 2009, 14:11

donc là, il faut décomposer

en produit de facteurs, mais en factorisant, on s'aperçoit qu'on a un terme de la forme

, il faut donc trouver ses racines pour etudier son signe. Pour cela, on cherche une racine évidente qui doit être comprise entre -3 et 3. Puis, identiquement à la question 1. , on procède par identification.

par **darkazuria** » 23 Oct 2009, 14:18

j'ai décomposer

et j'ai trouvé x(x³ - 3x - 18)

Mais par contre après je n'ai pas tout compris avec la racine comprise entre -3 et 3

par **Dinozzo13** » 23 Oct 2009, 14:23

ici, il faut etudier donc le signe de

, pour cela, il faut factoriser

en résolvant

, or on ne sait pas résoudre une telle équation comme ça, il faut donc trouver une valeur particulière (ou racine évidente) comprise entre -3 et 3 (-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3) qui puisse annuler le polynôme, on aura ainsi un première racine de ce polynôme, ce qui nous permettra de trouver les éventuelles autres racines :we: .

par **darkazuria** » 23 Oct 2009, 14:32

J'ai trouvé que

quand x = 3

mais comment il faut que je rédige? c'est bon si je marque seulement 3^3 - 3x3 - 18 = 0

Et pourquoi on ne pouvait pas faire ça directement avec

On peut aussi trouver que l'autre racine est x = 0.

par **Dinozzo13** » 23 Oct 2009, 14:40

darkazuria a écrit:Et pourquoi on ne pouvait pas faire ça directement avec .

on ne peut pas car il faut factoriser pour trouver les racine et en déduire les variations pour en conclure du signe.

darkazuria a écrit:On peut aussi trouver que l'autre racine est x = 0.

Oui, c'est valable uniquement pour le x devant la parenthese, mais pour l'instant on s'occupe de

^^.

Alors, Tu dis qu'il y a une racine évidente : x=3, tu en déduis donc que le polynome est factorisable par (x-3), donc il existe 3 réels a,b,c tels que

, là, tu fais comme dans le 1. tu procède par identification pour trouver a,b, et c.

par **darkazuria** » 23 Oct 2009, 14:47

Dans la partie 1 du DM on nous donner P(x) = x4 - 3x² - 18x
et démontrer que P(x) = (x - 3)(x³ + 3x² + 6x)

Ca a un rapport?
D'ailleurs je n'avais pas réussi à le démontrer

par **Dinozzo13** » 23 Oct 2009, 14:51

en effet oui, ce n'est pas une simple coïncidence, car a partir de ça, tu peux directement dire que

P.S. : On le démontrera si tu veux après avoir etudier le signe ^^.

par **Dinozzo13** » 23 Oct 2009, 14:55

et donc pour etudier le signe de

, vu que

, on etudie le signe de

donc de

. Il ne nous reste plus qu'à factoriser

, ça ne devrait pas te poser trop de pblm ^^

par **darkazuria** » 23 Oct 2009, 14:55

ok. je vais essayer

mais pourquoi ce n'est pas x(x -3) (x3 + 2x² - 18x) au lieu de

?

par **Dinozzo13** » 23 Oct 2009, 15:01

attends, je vais résumer pour qu'on ne se perde pas ^^.

par **Dinozzo13** » 23 Oct 2009, 15:05

Etude de

.
Sachant que pour tout

, le dénominateur est strictement positif, étudier le signe de

revient à étudier le signe de

.
Pour cela, il faut obligatoirement factoriser, pour ensuite, déterminer la ou les racines du polynômes afin d'étudier ses variations pour en déduire son signe.
Or d'après la partie 1.

, il faut donc etudier le signe de

, pour cela, on factorise

.

par **darkazuria** » 23 Oct 2009, 15:09

Oui merci, c'est bien d'avoir résumé

La factorisation de

, ça donne bien x(x² + 3x + 6) ?

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