Les fonctions : TES le coût marginal, moyen

[Helene12]

Bonjour a tous,
J'ai commencé un exercice, j'espère que vous pourrez m'expliquer les notions que je n'ai pas bien comprises =)

Le coût total de fabrication d'une quantité x d'un produit , exprimée en centaines d'unités , est défini sur ]0;1000]

C(x) = (x^3 + 50x^2 +1200x+50) / x

C(x) étant exprime en milliers d'euros .
Le coût moyen de fabrication par centaines d'objets est donc défini par :
CM(x) =C(x) / x

1) déterminer la quantité d'objets a la centaine près a fabriquer pour avoir un coût moyen minimal

Alors la j'ai remplace dans l'équation C(x) par son équation et cela me donne
(X^3 + 50x^2+ 1200x + 50 / x )/ x
Donc ça revient a multiplier par 1/x il me semble
= x^3 + 50x^2 + 1200x + 50 / x^2

Mais après je ne sais pas quoi faire , pouvez vous m'expliquer la méthode svp ?
Merci

[Le Chaton]

Bonsoir , En fait tu dois déterminer le minimum de la fonction sur son intervalle de définition .
As tu vu les dérivées ? Tableaux de signes ?

[Helene12]

Oui bien sur! Mais il faut dériver la dérivée de quelle fonction?
Merci

[Florélianne]

Bonsoir,

1) déterminer la quantité d'objets a la centaine près a fabriquer pour avoir un coût moyen minimal
On cherche le coût moyen minimal il se trouve lorsque la dérivée change de signe donc il faut calculer la dérivée de Cm(x)
Cm(x)= (x^3 + 50x^2 + 1200x + 50) / x^2
Cm(x)=x + 50+ (1200/x) + (50/x²)
maintenant C'm(x) est simple à calculer...
puis tu réduis au même dénominateur x^4 et tu cherches le signe du numérateur...
Bonne continuation

[Helene12]

Merci beaucoup Florelianne !!
J'ai donc calculé c'm(x) = 1 - (1200/x^2)- 100/x^3

Pour la dérivée je ne suis pas sure , est ce que c'est juste ? J'ai un doute pour dériver ? 50/x^2..

Donc après j'ai réduit au même dénominateur x^4

Ce qui fait : (x^4/x^4) - (1200x^2/x^4) - (100x/x^4)= c'm(x)
Est ce bien cela ?=)
Pour trouver le signe du numérateur est ce que je suis oblige de garder x^4 ou je réduis a x^2 et calculer le discriminant ?
Merci pour votre aide, c'est vraiment gentils!

[Florélianne]

Bonjour,

Cm(x)=x + 50+ (1200/x) + (50/x²)

Ce qui fait : (x^4/x^4) - (1200x^2/x^4) - (100x/x^4)= C'm(x)= (x^4 -1200x²-100x)/x^4 donc ce que tu as fait est juste
ou C'm(x)= (x^3 -1200x-100)/x^3
le problème est de trouver le signe du numérateur !
c'est à dire les racines d'un polynôme de degré 3 et là je ne sais pas quoi te dire...
Comment résous-tu ce genre de problème ?
En étudiant la fonction u(x)=x^3 -1200x-100 ?
je ne vois pas de racines évidentes... mais les évidences ne sont pas les mêmes pour tout le monde...
Tu dois avoir un exercice pour t'inspirer...
Désolée pour le moment je ne peux pas t'avancer plus.
Bonne chance

[Helene12]

ok , merci pour tout!
Je me souviens qu'en classe on avait fait un exercice du même genre mais un peu différent , il me semble qu'on devait recelculer la dérivée de la dérivée ..
Est ce que cela semble cohérent ?
En tout cas encore merci!
Hélène

[Helene12]

Ou est ce que je ne pourrais pas multiplier le tout par (1/x) pour enlever quelques x et il me resterait des x^2?
je ne sais pas si c'est possible ..
Merci

[Le Chaton]

ok , merci pour tout!
Je me souviens qu'en classe on avait fait un exercice du même genre mais un peu différent , il me semble qu'on devait recelculer la dérivée de la dérivée ..
Est ce que cela semble cohérent ?
En tout cas encore merci!
Hélène

Bonjour ,
Oui tu pourrais.
Après dans tous les cas il faudrait trouver ou est ce que u(x) s'annule. Et en connaissant l'allure de la fonction u(x) grâce à la fonction u'(x) tu pourrais le faire ( par tatonnement ... )

[Ericovitchi]

Si ça peut t'aider u(x)= s'annule approximativement en x~-34.5993 ; ~-0.0833338 ; ~34.6826
donc u(x) est négatif entre 0 et 34.68 et positif après.

[Helene12]

Merci le chaton , mais pour calculer la dérivée de la dérivée ça me donne une équation très compliquee :
U(x) = x^3-1200x-100
U'(x) = 3x^2-1200

V(x)= x^3
v'(x) = 3x^2

Donc la derives me donne = ( 3x^2-1200)x^3 - (3x^2) (x^3-1200x-100) / x^6

Après en simplifiant j'ai trouvé (2700/x)

[Helene12]

Est ce que c'est juste?

[Ericovitchi]

non ça ne se simplifie pas si bien que ça et par exemple tu as encore des x^3
: Ca fait plutôt

[Helene12]

Et une fois qu'on a cette équation qu'est ce que je fais ?
Merci ericovitchi

[Ericovitchi]

Comment ça qu'est-ce que tu fais ? Essayes d'avoir un minimum de logique et de suite dans les idées. Pourquoi as-tu calculé cette dérivée au juste ?

[Helene12]

Un tableau de signes??
Je suis désolée mais j'ai un peu de mal en maths ..

[Helene12]

Comment as tu trouvé 300(8x+1)/x^4
J'ai beau calculer la dérivée je ne trouve pas ça ..
Merci bcp en tout cas

[Florélianne]

Bonjour,

C'm(x)= (x^3 -1200x-100)/x^3
soit f(x)= x^3-1200x-100
f'(x)=3x²-1200= 3(x²-400)=3(x+20)(x-20)
f'(x) = 0

• x=-20 ne concerne pas notre problème
• x=20

le signe de f'(x) est positif à l'extérieur des racines donc pour x> 20
donc f est décroissante sur [0 ; 20] et croissante sur [20 ; +oo[
f(0)=-100 , f(20)= 8.000-24.000-100= -15.000 (négatif, normal)
donc il existe une valeur a > 20 telle que f(a)=0
donc Cm est décroissante sur [0 ; a[ croissante sur ]a ; +oo[
puisque x est positif
donc le coût minimum est pour x= a
reste à trouver la valeur approchée de a
pour cela tu entres la fonction f(x) dans ta calculatrice et tu cherches des tableau de valeurs d'abord de 20 à 40 avec un pas de 1 puis tu affines...
34 < a < 35
tu recommence entre 34 et 35 avec un pas de 0,1
34,6 < a <34,7
cette fois entre 34,6 et 34,7 , pas de 0,01
34,68 < a < 34,69
tu as une valeur approchée à 10^-2 de x pour que Cm soit minimum
Très cordialement

[Helene12]

En fait c'est bon , mais pour faire le tableau de signes je dois mettre 300(8x+1) dans la première colonne et x^4 dans la deuxième ??
Merci pour votre aide!

[Helene12]

Merci beaucoup floreliane pour votre réponse très complete !!
Donc comme le résultat doit être exprimé en centaine , le résultat c'est 34 centaine ?
Que veut dirz arondi a l'unité , est de que c'est arondi a l'entier ?
Merci encore

Ps : j'avais des problèmes avec mon modem , d'où ma réponse tardive !