Systèmes - Trouver une infinité de couple de solutions

[PandoraX]

Bonjour,

J'ai une question assez générale mais qui m'aiderait vraiment beaucoup si une personne pouvais m'orienter :

Comment puis-je être sure qu'un système admet un nombre infini de couple de solution. Je ne vais pas m'amuser à tous les calculer vu qu'ils y en a un paquet...Donc il doit bien y avoir un moyen d'affirmer cela via une méthode. Je suis à la recherche de cette dernière.

quand il n'y a pas de solution, je le vois, donc je l'exprime et j'en conclus que les droites sont parallèles.
quand il n'y qu'un couple de solution, je le vois donc je l'exprime et j'en conclus que les droites sont sécantes.

mais quand il y a un nombre infini de couple de solution, je le vois seulement si il y a un multiple de 0, comme l'exemple du système ci-dessous (dsl je ne sais pas faire la grosse parenthèse) qu'on m'a demandé de résoudre sur un autre forum :

x + 2y = 0
2x +4y =0

au final je trouve :

x = -2y
0y=0

Et c'est là où je me pose la question : Faut-il toujours qu'il y ait un multiple de 0 pour affirmer qu'il y a une infinité de couple de solutions ou y a t-il autre chose ?

Merci beaucoup

[Carpate]

La deuxième équation 2(x+2y) = 0 est équivalente à la première
Le système est donc réduit à x + 2y = 0
A tout réel x, correspond un unique réel cela fait donc une infinité de couples solutions du système.
Ces couples sont les coordonnées des points de la droite d'équation

[aviateur]

Bonjour Tu es en quelle classe.
Ta question est trop vague pour y répondre précisément.
Déjà tu évoques les solutions d'un système d'équation : combien d'équations, combien d'inconnues, ton système est-il linéaire????
Dans ton exemple tu as un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues de plus il est homogène.
Alors la situation est bien connue en algèbre linéaire mais cela serait trop long ici pour en parler.

Pour faire simple, géométriquement parlant, ton exemple correspond à l'équation de 2 droites (affines) passant par l'origine. Il n'y a que 2 possibilités elles sont confondues ou elle n'ont en commun que le point O=(0,0).

[Pseuda]

Bonsoir,

Pour répondre à ta question, oui il faut toujours qu'on aboutisse à un multiple de 0 (0y=0 ou 0x=0) pour qu'un système ait une infinité de solutions. Ceci veut dire qu'une inconnue des 2 inconnues peut prendre n'importe quelle valeur (une infinité), et l'autre inconnue prend alors (pour vérifier le système) une valeur qui dépend de la valeur donnée à la 1ère inconnue.

L'équation 0y=0 peut être éliminée du système car elle n'apporte aucune information, ou contrainte.