Système d'équation premier degrés

[Anonyme]

Bonjour je prépare actuellement le BTS cgo par correspondance et j'ai des devoirs de maths, on me demande de résoudre des systèmes d'inéquation par substitution, mais lorsque je le fait je trouves des trucs du genre 3x-3x=2-2, bref des truc qui mènenet à rien, pouvez vous m'aider s'il vous plait ?

Premier système :
-3x + 5y = 1
6x = -2 + 10y
Vous remarquerez que la deuxième est proportionnelle à la première

Deuxième système :

x + y = 2
-5 = -x - y

Troisième système

x + y - z = 1
x- y + z = -1
-x + y + z = 2

Merci

[Anonyme]

Salut,

Il y a plusieurs moyens pour résoudre ces systèmes d'équations. Tu nous dis qu'il faut que tu procède par substitution, ce qui veut dire que tu dois isoler une variable dans une équation et la substituer dans la deuxième. Pour le premier système ca serait:

y = (1 + 3x)/(5)

et tu remplace:

6x = -2 + 10[(1 + 3x)/(5)]
6x = -2 + 2 + 6x
1 = 1

Sait tu pourquoi tu arrive a ca? Parce qu'il y a une infinité de solution. C'est ce que le 1 = 1 essaye de te dire. Si tu as une infinité de solution c'est que tu aura un paramètre, par exemple x = a (a = n'importe quel chiffre ou nombre réel). Remplace le x par 'a' dans l'équation 1 et tu trouve:
x=a
y = (1 + 3a)/5

Donc les couples seront: (0,1/5);(1,4/5);(2;7/5);etc;

[Chimerade]

Pour qu'un système de deux équations à deux inconnues ait une seule solution, il faut que les équations ne soient ni équivalentes ni incompatibles.
Tu as remarqué que les coefficients de la deuxième équation du premier système sont proportionnels à ceux de la première. Cela veut dire qu'on peut déduire la deuxième de la première : la deuxième n'apporte aucune information supplémentaire. Tout se passe donc comme si la première était seule. La réponse à ce problème est qu'il n'y a qu'une équation et donc qu'on peut choisir une valeur quelconque pour x et que l'unique équation valide permet alors de calculer la valeur de y. Il y a une infinité de sollutions, puisque l'on peut choisir n'importe quelle valeur pour x.

Dans le cas où les coefficients de x, y, (et z, s'il y a plus de deux inconnues) sont proportionnels, alors que le terme constant ne l'est pas, on aboutit alors à une impossibilité. Dans ce cas, il n'y a tout simplement pas de solutions.

Premier système :
-3x + 5y = 1
6x = -2 + 10y
la deuxième est proportionnelle à la première. Donc une seule équation : une infinité de solutions : x quelconque et y = (3x+1)/5

Deuxième système :

x + y = 2
-5 = -x - y

La deuxième équation est équivalente à x+y=5. Ici les coefficients de x et y sont proportionnels (et même égaux), mais pas la constante : il est donc impossible que x+y=2 et en même temps que x+y=5 ! Le système n'a pas de solutions.

Troisième système

x + y - z = 1
x- y + z = -1
-x + y + z = 2

Ici, de la première équation on peut extraire z=x+y-1. On peut ensuite remplacer z par cette valeur dans les deux dernières équations :

x-y+(x+y-1)=-1 soit 2x = 0, x=0
-x+y+(x+y-1)=2 soit 2y = 3, y=3/2
z=x+y-1 = 0+3/2-1=1/2

[Anonyme]

Merci vivement à vous deux !