DM sur les équations différentielles et suites

[Hi^^]

Bonjour, j'ai un Devoir Maison à rendre pour Lundi, j'ai déjà fais les deux premiers éxercices mais le troisièmes je n'y arrive et ne comprends vraiment pas, j'aimerai savoir si vous pourriez m'aider, merci d'avance,

voici l'énoncé:

Lors de l'administration d'un médicament par injection intraveineuse de courte durée, sa concentration plasmatique est immédiatement maximale. Elle diminue ensuite en fonction du temps. Pour modéliser la situation, on posera l'hypothèse (H) suivante:
La diminution de la concentration à partir d'un instant t et sur une certaine durée, est proportielle à la concentration à l'instant t et à la durée.

PARTIE A: Modélisation Continue
On cherche une fonction C dérivable qui permet de modéliser la situation.
On choisit pour cela comme origine de temps la fin de l'injection et on note C(t) la concentration au temps t (exprimé en minutes) et Co= C(0)

1.Montrer que l'hypothèse (H) conduit à une remation de la forme
C(t+Delta t)-C(t)=-lembda C(t) delta t , où L est une constante et Dt la durée

[Delta sera noté : D et lembda:L]

2.Déterminer lim (C(t + Dt)- C(t))/(Dt) quand Dt ->0

3.En déduire que la fonction C vérifie l'équation différentielle (E): y'= -L y

4.Résoudre l'équation (E) et déterminer c(t) en fonction de Co et de L.

5.On suppose que la concentration a été divisée par 2 au bout d'une heure. Calculer L . On donnera la valeur éxacte et une valeur approchée à 10^-4 près.

PARTIE B: Modélisation Discrète
On choisit comme unité de temps la minute et on note Co la concentration immédiatement à la fin de l'injection, et Cn (C de petit n) la concentration n minutes plus tard.

1.Montrer que l'hypothèse (H) conduit à une relation de la forme
C (n+1) - Cn = -kCn , où k est une constante positive.

2.Montrer que (Cn) est une suite géométrique et préciser sa raison en fonction de k.

3.Exprimer cn en fonction de n et de Co.

4.On suppose que la concentration a été divisée par 2 au bout d'une heure, calculer la raison de cette suite et en déduire k (on donnera la valeur éxacte et une valeur approchée à 10^-4 près).

5.Vérifier la cohérence des résultats obtenus dans les parties A et B.


Merci à vous.